Линейная алгебра

Упражнение 1:

Номер 1

Как называется функция ?

Ответ:

(1) билинейной формой

(2) инвариантным подпространством

(3) билинейной матрицей

Номер 2

Если  является билинейной формой, то пара  называется:

Ответ:

(1) билинейной функцией

(2) модулем с билинейной формой

(3) билинейной формой на свободном модуле

Номер 3

Если для любых элементов x и y , то билинейная форма называется:

Ответ:

(1) кимплектической

(2) кососимметрической

(3) симметрической

Упражнение 2:

Номер 1

Выберите верное утверждение:

Ответ:

(1) если math

, то элементы x и y модуля с билинейной формой math

называют ортогональными

(2) если для любых элементов x и y math

, то билинейная форма называется симметрической

(3) если для каждого элемента x math

, то билинейная форма называется кососимметрической

Номер 2

Выберите не верные утверждения:

Ответ:

(1) если math

, то элементы x и y модуля с билинейной формой math

называют ортогональными

(2) если для любых элементов x и y math

, то билинейная форма называется симметрической

(3) если для каждого элемента x math

, то билинейная форма называется кососимметрической

Номер 3

Выберите не верные утверждения:

Ответ:

(1) элементы x и y модуля с билинейной формой math

называется ортогональной, если math

(2) если для любых элементов x и y math

, то билинейная форма называется симметрической

(3) если для каждого элемента x math

, то билинейная форма называется кососимметрической

Упражнение 3:

Номер 1

Какое скалярное произведение будет иметь произвольные векторы  и , при  и , при ?

Ответ:

(1) -1

(2) 4

(3) 0

Номер 2

Какое скалярное произведение будет иметь произвольные векторы  и , при  и , при ?

Ответ:

(1) -1

(2) 4

(3) 0

Номер 3

Какое скалярное произведение будет иметь произвольные векторы  и , при  и , при  $(x,y)=\alpha _{1}\beta _{1}+\alpha _{1}\beta _{2}+\alpha _{2}\beta
_{1}+2\alpha _{2}\beta _{2}$ ?

Ответ:

(1) -1

(2) 4

(3) 0

Упражнение 4:

Номер 1

Каким вектором можно дополнить систему векторов:  $x_{1}=(1,-2,1,3)

x_{2}=(2,1,-3,1)$  до ортогонального базиса?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 2

Каким вектором можно дополнить систему векторов:  $x_{1}=(1,-1,1,-3)

x_{2}=(-4,1,5,0)$  до ортогонального базиса?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 3

Каким вектором можно дополнить систему векторов:  $x_{1}=(-\frac{11}{15},-\frac{2}{15},\frac{2}{3})\ 

x_{2}=(-\frac{2}{15},-\frac{14}{15},-\frac{1}{3})$  до ортогонального базиса?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Упражнение 5:

Номер 1

Пусть  - ортонормированный базис евклидова пространства. Какое выражение будет для скалярного произведения прозвольных векторов x и y через их координаты в базисе , где ?

Ответ:

(1)

(x,y)=\lambda _{1}^{2}\alpha _{1}\beta _{1}+\lambda _{2}^{2}\alpha
_{2}\beta _{2}+...+\lambda _{n}^{2}\alpha _{n}\beta _{n}

(2)

(x,y)=\lambda _{1}\alpha _{1}\beta _{1}+\lambda _{2}\alpha _{2}\beta
_{2}+...+\lambda _{n}\alpha _{n}\beta _{n}

(3)

(x,y)=(2\alpha _{1}\beta _{1}+\alpha _{2}\beta _{2}+\alpha _{2}\beta
_{1})+(\alpha _{2}\beta _{2}+\alpha _{3}\beta _{3}+...+\alpha _{n}\beta _{n})

Номер 2

Пусть  - ортонормированный базис евклидова пространства. Какое выражение будет для скалярного произведения прозвольных векторов x и y через их координаты в базисе ?

Ответ:

(1)

(x,y)=\lambda _{1}^{2}\alpha _{1}\beta _{1}+\lambda _{2}^{2}\alpha
_{2}\beta _{2}+...+\lambda _{n}^{2}\alpha _{n}\beta _{n}

(2)

(x,y)=\lambda _{1}\alpha _{1}\beta _{1}+\lambda _{2}\alpha _{2}\beta
_{2}+...+\lambda _{n}\alpha _{n}\beta _{n}

(3)

(x,y)=(2\alpha _{1}\beta _{1}+\alpha _{2}\beta _{2}+\alpha _{2}\beta
_{1})+(\alpha _{2}\beta _{2}+\alpha _{3}\beta _{3}+...+\alpha _{n}\beta _{n})

Номер 3

Какое скалярное произведение будет иметь вектор ?

Ответ:

(1) 9

(2) 0

(3) 3

Упражнение 6:

Номер 1

Какой ортогональный базис подпространства, натянутого на систему векторов  $x_{1}=(2,3,-4,-6)\\

x_{2}=(1,8,-2,-16)\\

x_{3}=(12,5,-14,5)\\

x_{4}=(3,11,4,-7)$  будет, если применить процесс ортогонализации?

Ответ:

(1)

y_{1}=x_{1}=(1,1,-1,-2)\\

y_{2}=(2,3,1,3)\\

y_{3}=(2,1,1,0)

(2)

y_{1}=x_{1}=(1,1,-1,-2)\\

y_{2}=(2,5,1,3)\\

y_{3}=(2,-1,1,0)

(3)

y_{1}=x_{1}=(2,3,-4,-6)\\

y_{2}=(-3,2,6,-4)\\

y_{3}=(4,6,2,3)

Номер 2

Какой ортогональный базис подпространства, натянутого на систему векторов  $x_{1}=(1,1,-1,-2)\\

x_{2}=(-2,1,5,11)\\

x_{3}=(0,3,5,7)\\

x_{4}=(3,-3,-3,-9)$  будет, если применить процесс ортогонализации?

Ответ:

(1)

y_{1}=x_{1}=(1,1,-1,-2)\\

y_{2}=(2,3,1,3)\\

y_{3}=(2,1,1,0)

(2)

y_{1}=x_{1}=(1,1,-1,-2)\\

y_{2}=(2,5,1,3)\\

y_{3}=(2,-1,1,0)

(3)

y_{1}=x_{1}=(2,3,-4,-6)\\

y_{2}=(-3,2,6,-4)\\

y_{3}=(4,6,2,3)

Номер 3

Какой нормированный вектор ортогонален к векторам ?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(\frac{3}{\sqrt{15}},\frac{1}{\sqrt{15}},\frac{2}{\sqrt{15}},\frac{1}{\sqrt{%
15}})

Упражнение 7:

Номер 1

Какая будет ортогональная проекция и перпендикуляр, опущенный из вектора x на подпространство L, при условиях, что , L натянутую на векторы  $y_{1}=(-3,0,7,6)\\

y_{2}=(1,4,3,2)\\

y_{3}=(2,2,-2,-2)$

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 2

Какая будет ортогональная проекция и перпендикуляр, опущенный из вектора x на подпространство L, при условиях, что , L натянутую на векторы  $y_{1}=(1,3,3,5)

y_{2}=(1,3,-5,-3)

y_{3}=(1,-5,3,-3)$

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 3

Какая будет ортогональная проекция и перпендикуляр, опущенный из вектора x на подпространство L, при условиях, что , L - задано системой уравнений:  $3\alpha _{1}+2\alpha _{2}+\alpha _{3}-2\alpha _{4}=0\\

5\alpha _{1}+4\alpha _{2}+3\alpha _{3}+2\alpha _{4}=0\\

\alpha _{1}+2\alpha _{2}+3\alpha _{3}+10\alpha _{4}=0$

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Упражнение 8:

Номер 1

Какой биортогональный базис будет иметь базис пространства :  $e_{1}=(1,0,0,0)\\

e_{2}=(0,2,0,0)\\

e_{3}=(0,0,3,0)\\

e_{4}=(0,0,0,4)$

Ответ:

(1)

f_{1}=(1,0,0,0),\ f_{2}=(0,\frac{1}{2},0,0),\ f_{3}=(0,0,\frac{1}{3},0),\
f_{4}=(0,0,0,\frac{1}{4})

(2)

f_{1}=(1,0,0,0),\ f_{2}=(0,1,0,0),\ f_{3}=(-1,-2,1,-3),\
f_{4}=(0,0,0,1)

(3)

f_{1}=(1,0,0,0),\ f_{2}=(-1,1,0,0),\ f_{3}=(0,-1,1,0),\
f_{4}=(0,0,-1,1)

Номер 2

Какой биортогональный базис будет иметь базис пространства   $e_{1}=(1,0,1,0)\\
e_{2}=(0,1,2,0)\\
e_{3}=(0,0,1,0)\\
e_{4}=(0,0,3,1)$

Ответ:

(1)

f_{1}=(1,0,0,0),\ f_{2}=(0,\frac{1}{2},0,0),\ f_{3}=(0,0,\frac{1}{3},0),\
f_{4}=(0,0,0,\frac{1}{4})

(2)

f_{1}=(1,0,0,0),\ f_{2}=(0,1,0,0),\ f_{3}=(-1,-2,1,-3),\
f_{4}=(0,0,0,1)

(3)

f_{1}=(1,0,0,0),\ f_{2}=(-1,1,0,0),\ f_{3}=(0,-1,1,0),\
f_{4}=(0,0,-1,1)

Номер 3

Какой биортогональный базис будет иметь базис пространства :  $e_{1}=(1,1,1,1)\\

e_{2}=(0,1,1,1)\\

e_{3}=(0,0,1,1)\\

e_{4}=(0,0,0,1)$

Ответ:

(1)

f_{1}=(1,0,0,0),\ f_{2}=(0,\frac{1}{2},0,0),\ f_{3}=(0,0,\frac{1}{3},0),\
f_{4}=(0,0,0,\frac{1}{4})

(2)

f_{1}=(1,0,0,0),\ f_{2}=(0,1,0,0),\ f_{3}=(-1,-2,1,-3),\
f_{4}=(0,0,0,1)

(3)

f_{1}=(1,0,0,0),\ f_{2}=(-1,1,0,0),\ f_{3}=(0,-1,1,0),\
f_{4}=(0,0,-1,1)

Упражнение 9:

Номер 1

Какой угол будет между векторами , ?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 2

Какой угол будет между векторами , ?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 3

Какой угол будет между векторами , ?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Упражнение 10:

Номер 1

Какие будут косинусы внутренних углов треугольника ABC, заданного координатами вершин , , ?

Ответ:

(1)

\cos A=-\frac{5}{\sqrt{39}},\ \cos B=-\frac{3}{\sqrt{78}},\ \cos C=\frac{2}{%
\sqrt{3}}

(2)

\cos A=\frac{3}{\sqrt{78}},\ \cos B=\frac{4}{\sqrt{56}},\ \cos C=\frac{%
\sqrt{2}}{3}

(3)

\cos A=\frac{5}{\sqrt{39}},\ \cos B=\frac{8}{\sqrt{78}},\ \cos C=-\frac{%
\sqrt{2}}{3}

Номер 2

Какие будут косинусы углов между прямой   и осями координат?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 3

Какие будут длины сторон и внутренние углы треугольников, вершины которых заданы своими координатами ?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Упражнение 11:

Номер 1

Какой будет угол между вектором  и линейным подпространством натянутым на векторы  $a_{1}=(3,4,-4,-1)\\

a_{2}=(0,1,-1,2)$

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 2

Какой будет угол между вектором  и линейным подпространством натянутым на векторы

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 3

Какой будет угол между плоскостями  и , где  $a_{0}=(3,1,0,1),\\ a_{1}=(1,0,0,0),\\ a_{2}=(0,1,0,0)

b_{0}=(2,1,1,3),\ b_{1}=(1,1,1,1),\ b_{2}=(1,-1,1,-1)$ ?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Упражнение 12:

Номер 1

Линейное преобразование  в базисе  имеет матрицу  $\left( 
\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 0 & 1 \\ 
3 & 0 & -1 & 2 \\ 
2 & 5 & 3 & 1 \\ 
1 & 2 & 1 & 3%
\end{array}%
\right)$ . Как будет выглядеть матрица этого же преобразования в базисе: ?

Ответ:

(1)

\left( 
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 2 & 1 \\ 
2 & 3 & 5 & 1 \\ 
3 & -1 & 0 & 2 \\ 
1 & 1 & 2 & 3%
\end{array}%
\right)

(2)

\left( 
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 2 & -1 \\ 
2 & -3 & 5 & 1 \\ 
3 & 1 & 0 & 2 \\ 
0 & 1 & 2 & 3%
\end{array}%
\right)

(3)

\left( 
\begin{array}{cccc}
-1 & 0 & 3 & 1 \\ 
2 & 3 & 6 & 2 \\ 
0 & 1 & 0 & 2 \\ 
0 & 1 & 2 & 0%
\end{array}%
\right)

Номер 2

Линейное преобразование  в базисе  имеет матрицу  $\left( 
\begin{array}{ccc}
15 & -11 & 5 \\ 
20 & -15 & 8 \\ 
8 & -7 & 6%
\end{array}%
\right)$  Как будет выглядеть матрица в базисе  $f_{1}=2e_{1}+3e_{2}+e_{3},\ \ f_{2}=3e_{1}+4e_{2}+e_{3},\ \
f_{3}=e_{1}+2e_{2}+2e_{3}$ ?

Ответ:

(1)

\left( 
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 1 \\ 
0 & 2 & 0 \\ 
3 & 0 & 0%
\end{array}%
\right)

(2)

\left( 
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\ 
0 & 2 & 0 \\ 
0 & 0 & 3%
\end{array}%
\right)

(3)

\left( 
\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\ 
0 & 2 & 0 \\ 
0 & 3 & 0%
\end{array}%
\right)

Номер 3

Линейное преобразование  в базисе  имеет матрицу  $\left( 
\begin{array}{ccc}
1 & -18 & 15 \\ 
-1 & -22 & 15 \\ 
1 & -25 & 22%
\end{array}%
\right)$  Как будет выглядеть матрица в базисе ?

Ответ:

(1)

\left( 
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 2 \\ 
3 & 1 & 2 \\ 
2 & 3 & 1%
\end{array}%
\right)

(2)

\left( 
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & -2 \\ 
3 & 1 & -2 \\ 
2 & 3 & -2%
\end{array}%
\right)

(3)

\left( 
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 2 \\ 
3 & -1 & -2 \\ 
2 & -3 & 1%
\end{array}%
\right)

Линейная алгебра - тест 12