игра брюс 2048
Главная / Математика / Линейная алгебра / Тест 16

Линейная алгебра - тест 16

Упражнение 1:
Номер 1
Какую матрицу имеет квадратичная форма math?

Ответ:

 (1) \left( \begin{array}{ccc} 4 & -1 & \frac{1}{2} \\ -1 & 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & -3% \end{array}% \right) 

 (2) \left( \begin{array}{ccc} 4 & 1 & \frac{1}{2} \\ 1 & -1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & 3% \end{array}% \right) 

 (3) \left( \begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3 \\ -2 & 5 & -1 \\ 3 & 1 & 0% \end{array}% \right) 


Номер 2
Какую матрицу имеет квадратичная форма math?

Ответ:

 (1) \left( \begin{array}{ccc} 4 & -1 & \frac{1}{2} \\ -1 & 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & -3% \end{array}% \right) 

 (2) \left( \begin{array}{ccc} 4 & 1 & \frac{1}{2} \\ 1 & -1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & 3% \end{array}% \right) 

 (3) \left( \begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3 \\ -2 & 5 & -1 \\ 3 & -1 & 0% \end{array}% \right) 


Номер 3
Какую матрицу имеет квадратичная форма math?

Ответ:

 (1) \left( \begin{array}{ccc} 4 & -1 & \frac{1}{2} \\ -1 & 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & -3% \end{array}% \right) 

 (2) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 4 & 1 \\ 4 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & 1% \end{array}% \right) 

 (3) \left( \begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3 \\ -2 & 5 & -1 \\ 3 & -1 & 0% \end{array}% \right) 


Упражнение 2:
Номер 1
Какое будет ортогональное преобразование неизвестных для квадратичной формы math, приводящую эту форму к каноническому виду?

Ответ:

 (1) -7y_{1}^{2}+2y_{2}^{2},\ \ x_{1}=\frac{2}{\sqrt{21}}y_{1}+\frac{1}{\sqrt{6}}% y_{2}+\frac{3}{\sqrt{14}}y_{3},\ \ x_{2}=\frac{1}{\sqrt{21}}y_{1}+\frac{2}{% \sqrt{6}}y_{2}-\frac{2}{\sqrt{14}}y_{3},\ \ x_{3}=\frac{4}{\sqrt{21}}y_{1}+% \frac{1}{\sqrt{6}}y_{2}+\frac{1}{\sqrt{14}}y_{3} 

 (2) -y_{1}^{2}-7y_{2}^{2}+5y_{3}^{2};\ \ x_{1}=\frac{1}{\sqrt{6}}y_{1}+\frac{1}{% \sqrt{3}}y_{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}y_{3},\ \ x_{2}=\frac{2}{\sqrt{6}}y_{1}-% \frac{1}{\sqrt{3}}y_{2},\ \ x_{3}=-\frac{1}{\sqrt{6}}y_{1}-\frac{1}{\sqrt{3}}% y_{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}y_{3} 

 (3) y_{1}^{2}+7y_{2}^{2}+y_{3}^{2};\ \ x_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}y_{1}+\frac{1}{% \sqrt{6}}y_{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}y_{3},\ x_{2}=-\frac{2}{\sqrt{6}}y_{2}+% \frac{1}{\sqrt{3}}y_{3},\ \ x_{3}=\frac{1}{\sqrt{2}}y_{1}-\frac{1}{\sqrt{6}}% y_{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}y_{3} 


Номер 2
Какое будет ортогональное преобразование неизвестных для квадратичной формы math, приводящую эту форму к каноническому виду?

Ответ:

 (1) -7y_{1}^{2}+2y_{2}^{2},\ \ x_{1}=\frac{2}{\sqrt{21}}y_{1}+\frac{1}{\sqrt{6}}% y_{2}+\frac{3}{\sqrt{14}}y_{3},\ \ x_{2}=\frac{1}{\sqrt{21}}y_{1}+\frac{2}{% \sqrt{6}}y_{2}-\frac{2}{\sqrt{14}}y_{3},\ \ x_{3}=\frac{4}{\sqrt{21}}y_{1}+% \frac{1}{\sqrt{6}}y_{2}+\frac{1}{\sqrt{14}}y_{3} 

 (2) -y_{1}^{2}-7y_{2}^{2}+5y_{3}^{2};\ \ x_{1}=\frac{1}{\sqrt{6}}y_{1}+\frac{1}{% \sqrt{3}}y_{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}y_{3},\ \ x_{2}=\frac{2}{\sqrt{6}}y_{1}-% \frac{1}{\sqrt{3}}y_{2},\ \ x_{3}=-\frac{1}{\sqrt{6}}y_{1}-\frac{1}{\sqrt{3}}% y_{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}y_{3} 

 (3) y_{1}^{2}+7y_{2}^{2}+y_{3}^{2};\ \ x_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}y_{1}+\frac{1}{% \sqrt{6}}y_{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}y_{3},\ x_{2}=-\frac{2}{\sqrt{6}}y_{2}+% \frac{1}{\sqrt{3}}y_{3},\ \ x_{3}=\frac{1}{\sqrt{2}}y_{1}-\frac{1}{\sqrt{6}}% y_{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}y_{3} 


Номер 3
Какое будет ортогональное преобразование неизвестных для квадратичной формы math, приводящую эту форму к каноническому виду?

Ответ:

 (1) -7y_{1}^{2}+2y_{2}^{2},\ \ x_{1}=\frac{2}{\sqrt{21}}y_{1}+\frac{1}{\sqrt{6}}% y_{2}+\frac{3}{\sqrt{14}}y_{3},\ \ x_{2}=\frac{1}{\sqrt{21}}y_{1}+\frac{2}{% \sqrt{6}}y_{2}-\frac{2}{\sqrt{14}}y_{3},\ \ x_{3}=-\frac{4}{\sqrt{21}}y_{1}+% \frac{1}{\sqrt{6}}y_{2}+\frac{1}{\sqrt{14}}y_{3} 

 (2) -y_{1}^{2}-7y_{2}^{2}+5y_{3}^{2};\ \ x_{1}=\frac{1}{\sqrt{6}}y_{1}+\frac{1}{% \sqrt{3}}y_{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}y_{3},\ \ x_{2}=\frac{2}{\sqrt{6}}y_{1}-% \frac{1}{\sqrt{3}}y_{2},\ \ x_{3}=-\frac{1}{\sqrt{6}}y_{1}-\frac{1}{\sqrt{3}}% y_{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}y_{3} 

 (3) y_{1}^{2}+7y_{2}^{2}+y_{3}^{2};\ \ x_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}y_{1}+\frac{1}{% \sqrt{6}}y_{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}y_{3},\ x_{2}=-\frac{2}{\sqrt{6}}y_{2}+% \frac{1}{\sqrt{3}}y_{3},\ \ x_{3}=\frac{1}{\sqrt{2}}y_{1}-\frac{1}{\sqrt{6}}% y_{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}y_{3} 


Упражнение 3:
Номер 1
Какой индекс инерции будет иметь квадратичная форма math?

Ответ:

 (1) форма положительно определена 

 (2) каждый индекс инерции равен 2 

 (3) положительный индекс инерции равен 1, отрицательный индекс инерции равен 3 


Номер 2
Какой индекс инерции будет иметь квадратичная форма math?

Ответ:

 (1) форма положительно определена 

 (2) каждый индекс инерции равен 2 

 (3) положительный индекс инерции равен 1, отрицательный индекс инерции равен 3 


Номер 3
Какой индекс инерции будет иметь квадратичная форма math?

Ответ:

 (1) форма положительно определена 

 (2) каждый индекс инерции равен 2 

 (3) положительный индекс инерции равен 1, отрицательный индекс инерции равен 3 


Упражнение 4:
Номер 1
Как будет выглядеть квадратичная форма math, если привести ее к нормальному виду треугольным преобразованием неизвестных?

Ответ:

 (1) math 

 (2) math 

 (3) y_{1}=x_{1}-x_{3}-2x_{4},\ y_{2}=2x_{2}+x_{3},\ y_{3}=3x_{3}+2x_{4},\ y_{4}=4x_{4} 


Номер 2
Какие преобразования переменных позволят привести квадратичную форму math к нормальному виду?

Ответ:

 (1) math 

 (2) math 

 (3) y_{1}=x_{1}-x_{3}-2x_{4},\ y_{2}=2x_{2}+x_{3},\ y_{3}=3x_{3}+2x_{4},\ y_{4}=4x_{4} 


Номер 3
Как будет выглядеть квадратичная форма math, если привести ее к нормальному виду треугольным преобразованием неизвестных?

Ответ:

 (1) math 

 (2) math 

 (3) y_{1}=x_{1}-x_{3}-2x_{4},\ y_{2}=2x_{2}+x_{3},\ y_{3}=3x_{3}+2x_{4},\ y_{4}=4x_{4} 


Упражнение 5:
Номер 1
Какое треугольное разложение будет иметь матрица \left( 
\begin{array}{ccc}
4 & 2 & -2 \\ 
2 & 5 & 1 \\ 
-2 & 1 & 3%
\end{array}%
\right) при формуле math?

Ответ:

 (1) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1% \end{array}% \right) 

 (2) \left( \begin{array}{ccc} 3 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 1% \end{array}% \right) 

 (3) \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1% \end{array}% \right) 


Номер 2
Какое треугольное разложение будет иметь матрица \left( 
\begin{array}{ccc}
9 & -3 & 0 \\ 
-3 & 5 & -4 \\ 
0 & -4 & 5%
\end{array}%
\right) при формуле math?

Ответ:

 (1) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1% \end{array}% \right) 

 (2) \left( \begin{array}{ccc} 3 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 1% \end{array}% \right) 

 (3) \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1% \end{array}% \right) 


Номер 3
Какое треугольное разложение будет иметь матрица \left( 
\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4 \\ 
2 & 5 & 8 & 4 \\ 
3 & 8 & 14 & 20 \\ 
4 & 11 & 20 & 30%
\end{array}%
\right) при формуле math?

Ответ:

 (1) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1% \end{array}% \right) 

 (2) \left( \begin{array}{ccc} 3 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 1% \end{array}% \right) 

 (3) \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1% \end{array}% \right) 


Упражнение 6:
Номер 1
Как будет выглядеть невырожденное линейное преобразование, которое приводит квадратичные формы F=x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}+3x_{3}^{2}+2x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{3}

G=2x$_{1}^{2}+8x_{2}^{2}+3x_{3}^{2}+8x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+4x_{2}x_{3} к каноническому виду?

Ответ:

 (1) матрицы форм F и G перестановочны . Ортогональное преобразование неизвестных y_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}}x_{1}-\frac{1}{\sqrt{3}}x_{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}% x_{2},\ \ y_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}x_{1}-\frac{1}{\sqrt{2}}x_{3},\ \ y_{3}=% \frac{1}{\sqrt{6}}x_{1}+\frac{3}{\sqrt{6}}x_{2}+\frac{1}{\sqrt{6}}x_{3} приводит форму к каноническуому виду math, а форму G - к каноническому виду math 

 (2) форма F положительно определена. Преобразование неизвестных z_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}}x_{1}+\frac{2}{\sqrt{3}}x_{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}% x_{3},\ \ z_{2}=\frac{1}{\sqrt{6}}x_{1}+\frac{2}{\sqrt{6}}x_{2}-\frac{2}{% \sqrt{6}}x_{3},\ \ z_{3}=\frac{1}{\sqrt{2}}x_{1}-\sqrt{2}x_{3}$ приводит форму F к нормальному виду, а форму G - к каноническому виду math 

 (3) форма F отрицательно определена. Преобразование неизвестных z_{1}=\frac{1}{3}x_{1}-\frac{4}{3}x_{2}+x_{3},\ \ z_{2}=\frac{2}{3}x_{1}-% \frac{5}{3}x_{2}-2x_{3},\ \ z_{3}=\frac{2}{3}x_{1}-\frac{2}{3}x_{2}-3x_{3} приводят форму F к нормальному виду, а форму G - к каноническому виду math 


Номер 2
Как будет выглядеть невырожденное линейное преобразование, которое приводит квадратичные формы F=x_{1}^{2}+5x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2x_{1}x_{2}+6x_{1}x_{3}+2x_{2}x_{3}

G=x_{1}^{2}-2x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+4x_{1}x_{2}-10x_{1}x_{3}+4x_{2}x_{3} к каноническому виду?

Ответ:

 (1) матрицы форм F и G перестановочны . Ортогональное преобразование неизвестных y_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}}x_{1}-\frac{1}{\sqrt{3}}x_{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}% x_{2},\ \ y_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}x_{1}-\frac{1}{\sqrt{2}}x_{3},\ \ y_{3}=% \frac{1}{\sqrt{6}}x_{1}+\frac{3}{\sqrt{6}}x_{2}+\frac{1}{\sqrt{6}}x_{3} приводит форму к каноническуому виду math, а форму G - к каноническому виду math 

 (2) форма F положительно определена. Преобразование неизвестных z_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}}x_{1}+\frac{2}{\sqrt{3}}x_{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}% x_{3},\ \ z_{2}=\frac{1}{\sqrt{6}}x_{1}+\frac{2}{\sqrt{6}}x_{2}-\frac{2}{% \sqrt{6}}x_{3},\ \ z_{3}=\frac{1}{\sqrt{2}}x_{1}-\sqrt{2}x_{3}$ приводит форму F к нормальному виду, а форму G - к каноническому виду math 

 (3) форма F отрицательно определена. Преобразование неизвестных z_{1}=\frac{1}{3}x_{1}-\frac{4}{3}x_{2}+x_{3},\ \ z_{2}=\frac{2}{3}x_{1}-% \frac{5}{3}x_{2}-2x_{3},\ \ z_{3}=\frac{2}{3}x_{1}-\frac{2}{3}x_{2}-3x_{3} приводят форму F к нормальному виду, а форму G - к каноническому виду math 


Номер 3
Как будет выглядеть невырожденное линейное преобразование, которое приводит квадратичные формы F=-x_{1}^{2}-5x_{2}^{2}-14x_{3}^{2}+4x_{1}x_{2}+6x_{1}x_{3}-8x_{2}x_{3}

G=-x_{1}^{2}-14x_{2}^{2}-4x_{3}^{2}+8x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{3}+4x_{2}x_{3} к каноническому виду?

Ответ:

 (1) матрицы форм F и G перестановочны . Ортогональное преобразование неизвестных y_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}}x_{1}-\frac{1}{\sqrt{3}}x_{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}% x_{2},\ \ y_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}x_{1}-\frac{1}{\sqrt{2}}x_{3},\ \ y_{3}=% \frac{1}{\sqrt{6}}x_{1}+\frac{3}{\sqrt{6}}x_{2}+\frac{1}{\sqrt{6}}x_{3} приводит форму к каноническуому виду math, а форму G - к каноническому виду math 

 (2) форма F положительно определена. Преобразование неизвестных z_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}}x_{1}+\frac{2}{\sqrt{3}}x_{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}% x_{3},\ \ z_{2}=\frac{1}{\sqrt{6}}x_{1}+\frac{2}{\sqrt{6}}x_{2}-\frac{2}{% \sqrt{6}}x_{3},\ \ z_{3}=\frac{1}{\sqrt{2}}x_{1}-\sqrt{2}x_{3}$ приводит форму F к нормальному виду, а форму G - к каноническому виду math 

 (3) форма F отрицательно определена. Преобразование неизвестных z_{1}=\frac{1}{3}x_{1}-\frac{4}{3}x_{2}+x_{3},\ \ z_{2}=\frac{2}{3}x_{1}-% \frac{5}{3}x_{2}-2x_{3},\ \ z_{3}=\frac{2}{3}x_{1}-\frac{2}{3}x_{2}-3x_{3} приводят форму F к нормальному виду, а форму G - к каноническому виду math 


Упражнение 7:
Номер 1
Какие квадратные формы, из ниже перечисленных, будут отрицательно определены?

Ответ:

 (1) x% _{1}^{2}+2x_{2}^{2}+2x_{3}^{2}+2x_{4}^{2}-2x_{1}x_{2}-2x_{2}x_{3}-2x_{3}x_{4} 

 (2) math 

 (3) math 


Номер 2
Какие квадратные формы, из ниже перечисленных, будут положительно определены?

Ответ:

 (1) math 

 (2) math 

 (3) x% _{1}^{2}+2x_{2}^{2}+2x_{3}^{2}+2x_{4}^{2}-2x_{1}x_{2}-2x_{2}x_{3}-2x_{3}x_{4} 


Номер 3
Какие квадратные формы, из ниже перечисленных, будут иметь перестановочные формы матрицы?

Ответ:

 (1) x% _{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+2x_{1}x_{2}+4x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{4}+2x_{2}x_{3}+4x_{2}x_{4}+2x_{3}x_{4} 

 (2) 2x% _{1}^{2}+2x_{2}^{2}+2x_{3}^{2}+2x_{4}^{2}-2x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}-2x_{1}x_{4}-2x_{2}x_{3}+2x_{2}x_{4}-2x_{3}x_{4} 

 (3) math 


Упражнение 8:
Номер 1
Матрицей квадратичной формы называется:

Ответ:

 (1) вырожденная матрица math 

 (2) невырожденная матрица math 

 (3) симметричная матрица math, составленная из коэффициентов квадратичной формы 


Номер 2
Невырожденной квадратичной формой называется:

Ответ:

 (1) невырожденная матрица math 

 (2) вырожденная матрица math 

 (3) симметричная матрица math, составленная из коэффициентов квадратичной формы 


Номер 3
Вырожденной квадратичной формой называется:

Ответ:

 (1) невырожденная матрица math 

 (2) вырожденная матрица math 

 (3) симметричная матрица math, составленная из коэффициентов квадратичной формы 


Упражнение 9:
Номер 1
Как будет выглядеть кососимметрическая билинейная функция math, если привести ее к каноническому виду?

Ответ:

 (1) x_{1}^{^{\prime }}y_{2}^{^{\prime }}-x_{2}^{^{\prime }}y_{1}^{^{\prime }}+x_{3}^{^{\prime }}y_{4}^{^{\prime }}-x_{4}^{^{\prime }}y_{3}^{^{\prime }}, где \ x_{1}^{^{\prime }}=x_{1}-2x_{3},\ \ x_{2}^{^{\prime }}=x_{2}-x_{4},\ \ x_{3}^{^{\prime }}=x_{3} 

 (2) x_{1}^{^{\prime }}y_{2}^{^{\prime }}-x_{2}^{^{\prime }}y_{1}^{^{\prime }},\ где \ x_{1}^{^{\prime }}=x_{1}-2x_{3},\ \ x_{2}^{^{\prime }}=x_{2}-x_{3},\ \ x_{3}^{^{\prime }}=x_{3} 

 (3) x_{1}^{^{\prime }}y_{2}^{^{\prime }}-x_{2}^{^{\prime }}y_{1}^{^{\prime }},\ \ где \ x_{1}^{^{\prime }}=x_{1}-\frac{3}{2}x_{3},\ \ x_{2}^{^{\prime }}=2x_{2}+x_{3},\ \ x_{3}^{^{\prime }}=x_{3} 


Упражнение 10:
Номер 1
Какое уравнение поверхностей 2-го порядка будет иметь канонический вид \frac{\sqrt{6}}{4}y_{1}^{2}-y_{2}=0,\ \ \left( 
\begin{array}{c}
x_{1} \\ 
x_{2} \\ 
x_{3}%
\end{array}%
\right) =\frac{1}{6}\left( 
\begin{array}{c}
1 \\ 
5 \\ 
0%
\end{array}%
\right) +\left( 
\begin{array}{ccc}
\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{6}} & 0 \\ 
\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 
-\frac{1}{\sqrt{8}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{2}}%
\end{array}%
\right) \left( 
\begin{array}{c}
y_{1} \\ 
y_{2} \\ 
y_{3}%
\end{array}%
\right)

Ответ:

 (1) math 

 (2) math 

 (3) math 


Номер 2
Какое уравнение поверхностей 2-го порядка будет иметь канонический вид y_{1}^{2}-y_{2}^{2}-y_{3}^{2}=0,\ \ \left( 
\begin{array}{c}
x_{1} \\ 
x_{2} \\ 
x_{3}%
\end{array}%
\right) =\left( 
\begin{array}{ccc}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{2}{\sqrt{2}} & 0 \\ 
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) \left( 
\begin{array}{c}
y_{1} \\ 
y_{2} \\ 
y_{3}%
\end{array}%
\right)

Ответ:

 (1) math 

 (2) math 

 (3) math 


Номер 3
Какое уравнение поверхностей 2-го порядка будет иметь канонический вид y_{1}^{2}-y_{2}^{2}-y_{3}^{2}-y_{4}^{2}=0,\ \ \left( 
\begin{array}{c}
x_{1} \\ 
x_{2} \\ 
x_{3} \\ 
x_{4}%
\end{array}%
\right) =\left( 
\begin{array}{c}
-1 \\ 
1 \\ 
1 \\ 
-1%
\end{array}%
\right) +\frac{1}{\sqrt{2}}\left( 
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 1 \\ 
0 & 1 & 1 & 0 \\ 
0 & -1 & 1 & 0 \\ 
1 & 0 & 0 & -1%
\end{array}%
\right) \left( 
\begin{array}{c}
y_{1} \\ 
y_{2} \\ 
y_{3} \\ 
y_{4}%
\end{array}%
\right)

Ответ:

 (1) math 

 (2) math 

 (3) math 


Упражнение 11:
Номер 1
Какая квадратичная форма, из ниже перечисленных, будет иметь вид 4x_{1}^{^{\prime }2}+x_{2}^{^{\prime }2}-2x_{3}^{^{\prime }2},\ \
x_{1}^{^{\prime }}=\frac{2}{3}x_{1}-\frac{2}{3}x_{2}+\frac{1}{3}x_{3},\ \
x_{2}^{^{\prime }}=\frac{2}{3}x_{1}+\frac{1}{3}x_{2}-\frac{2}{3}x_{3},\ \
x_{3}^{^{\prime }}=\frac{1}{3}x_{1}+\frac{2}{3}x_{2}+\frac{2}{3}x_{3}

Ответ:

 (1) math 

 (2) math 

 (3) math 


Номер 2
Какая квадратичная форма, из ниже перечисленных, будет иметь вид 2x_{1}^{^{\prime }2}-x_{2}^{^{\prime }2}+5x_{3}^{^{\prime }3},\ \
x_{1}^{^{\prime }}=\frac{2}{3}x_{1}-\frac{1}{3}x_{2}-\frac{2}{3}x_{3},\ \
x_{2}^{^{\prime }}=\frac{2}{3}x_{1}+\frac{2}{3}x_{2}+\frac{1}{3}x_{3},\ \
x_{3}^{^{\prime }}=\frac{1}{3}x_{1}-\frac{2}{3}x_{2}+\frac{2}{3}x_{3}

Ответ:

 (1) math 

 (2) math 

 (3) math 


Номер 3
Какая квадратичная форма, из ниже перечисленных, будет иметь вид 7x_{1}^{^{\prime }2}+4x_{2}^{^{\prime }2}+x_{3}^{^{\prime }3},\ \
x_{1}^{^{\prime }}=\frac{1}{3}x_{1}+\frac{2}{3}x_{2}-\frac{2}{3}x_{3},\ \
x_{2}^{^{\prime }}=\frac{2}{3}x_{1}+\frac{1}{3}x_{2}+\frac{2}{3}x_{3},\ \
x_{3}^{^{\prime }}=-\frac{2}{3}x_{1}+\frac{2}{3}x_{2}+\frac{1}{3}x_{3}

Ответ:

 (1) math 

 (2) math 

 (3) math 


Упражнение 12:
Номер 1
Какой канонический вид будут иметь уравнения поверхностей второго порядка math?

Ответ:

 (1) 3y_{1}^{2}+4y_{2}^{2}+8\sqrt{6}y_{3}=0,\ \ \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}% \end{array}% \right) =\left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ -1% \end{array}% \right) +\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}}% \end{array}% \right) \left( \begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}% \end{array}% \right) 

 (2) 4y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-2y_{3}^{2}-8=0,\ \ \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}% \end{array}% \right) =\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ -1% \end{array}% \right) +\frac{1}{3}\left( \begin{array}{ccc} -1 & -2 & -2 \\ -2 & -1 & 2 \\ -2 & 2 & -1% \end{array}% \right) \left( \begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}% \end{array}% \right) 

 (3) 2y_{1}^{2}-y_{2}^{2}-y_{3}^{2}+\frac{1}{2}=0,\ \ \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}% \end{array}% \right) =\left( \begin{array}{c} -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2}% \end{array}% \right) +\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}}% \end{array}% \right) \left( \begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}% \end{array}% \right) 


Номер 2
Какой канонический вид будут иметь уравнения поверхностей второго порядка math?

Ответ:

 (1) 3y_{1}^{2}+4y_{2}^{2}+8\sqrt{6}y_{3}=0,\ \ \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}% \end{array}% \right) =\left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ -1% \end{array}% \right) +\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}}% \end{array}% \right) \left( \begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}% \end{array}% \right) 

 (2) 4y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-2y_{3}^{2}-8=0,\ \ \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}% \end{array}% \right) =\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ -1% \end{array}% \right) +\frac{1}{3}\left( \begin{array}{ccc} -1 & -2 & -2 \\ -2 & -1 & 2 \\ -2 & 2 & -1% \end{array}% \right) \left( \begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}% \end{array}% \right) 

 (3) 2y_{1}^{2}-y_{2}^{2}-y_{3}^{2}+\frac{1}{2}=0,\ \ \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}% \end{array}% \right) =\left( \begin{array}{c} -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2}% \end{array}% \right) +\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}}% \end{array}% \right) \left( \begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}% \end{array}% \right) 


Номер 3
Какой канонический вид будут иметь уравнения поверхностей второго порядка math?

Ответ:

 (1) 3y_{1}^{2}+4y_{2}^{2}+8\sqrt{6}y_{3}=0,\ \ \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}% \end{array}% \right) =\left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ -1% \end{array}% \right) +\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}}% \end{array}% \right) \left( \begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}% \end{array}% \right) 

 (2) 4y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-2y_{3}^{2}-8=0,\ \ \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}% \end{array}% \right) =\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ -1% \end{array}% \right) +\frac{1}{3}\left( \begin{array}{ccc} -1 & -2 & -2 \\ -2 & -1 & 2 \\ -2 & 2 & -1% \end{array}% \right) \left( \begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}% \end{array}% \right) 

 (3) 2y_{1}^{2}-y_{2}^{2}-y_{3}^{2}+\frac{1}{2}=0,\ \ \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}% \end{array}% \right) =\left( \begin{array}{c} -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2}% \end{array}% \right) +\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}}% \end{array}% \right) \left( \begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}% \end{array}% \right) 




Главная / Математика / Линейная алгебра / Тест 16