игра брюс 2048
Главная / Математика / Линейная алгебра / Тест 2

Линейная алгебра - тест 2

Упражнение 1:
Номер 1 
Какие из матриц являются единичными?

Ответ:

 (1) \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \right)  

 (2) \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)  

 (3) \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right)  

 (4) \left( \begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 0\\ \end{array} \right)  

 (5) \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \right)  

 (6) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{array} \right) 

Номер 2 
Какие из матриц являются единичными?

Ответ:

 (1) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ \end{array} \right) 

 (2) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{array} \right) 

 (3) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 2\\ \end{array} \right) 

 (4) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 2 & 2\\ 2 & 2 & 2\\ 2 & 2 & 2\\ \end{array} \right) 

 (5) \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 &\\ 0 & 1 &\\ \end{array} \right) 

Номер 3 
Какая из матриц является единичной?

Ответ:

 (1) \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ \end{array} \right) 

 (2) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{array} \right) 

 (3) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ \end{array} \right) 

 (4) \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)  

 (5) \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \right)  

 (6) \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)  

Упражнение 2:
Номер 1 
Выберите правильные свойства для А, B и C - матриц, и чисел a и b

Ответ:

 (1) А+В=В+А 

 (2) (А+В)+С=А+(В+С) 

 (3) a(A)=(a)A 

 (4) (a+b)A=aA+bA 

 (5) a(А+В)=aА+aВ 

Номер 2 
Какие из утверждений верные?

Ответ:

 (1) сложение матриц обладает свойством ассоциативности 

 (2) сложение матриц А + B определено только в том случае, если матрица А имеет размерность mxn, а В nxk 

 (3) сложение матриц А + B определено только в том случае, если размерности матриц А и В совпадают 

Номер 3 
Какие из утверждений верные?

Ответ:

 (1) сложение матриц обладает свойством коммутативности 

 (2) сложение матриц обладает свойством дистрибутивности относительно умножения 

 (3) сложение матриц А + B определено только в том случае, если матрица А имеет размерность mxn, а В nxm 

Упражнение 3:
Номер 1 
Выберите правильные свойства для А и В - матриц, α - число

Ответ:

 (1) A(BC)=(AB)C 

 (2) AB=BA 

 (3) (A+B)C=AC+BC 

 (4) A(B+C)=AB+AC 

 (5) (αA)B=A(αB) 

 (6) A2-B2=(A+B)(A-B) 

Номер 2 
Какое из утверждений верное?

Ответ:

 (1) умножение матриц АB определено только в том случае, если матрица А имеет размерность m x n, а В - n x m 

 (2) умножение матриц АB определено только в том случае, если количество строк в матрице А соответствует количеству столбцов в матрице B 

 (3) умножение матриц АB определено только в том случае, если количества элементов в матрицах совпадают 

Номер 3 
Какие из утверждений верные?

Ответ:

 (1) умножение матриц обладает свойством ассоциативности 

 (2) умножение матриц обладает свойством коммутативности 

 (3) умножение и сложение матриц обладает свойством дистрибутивности 

Упражнение 4:
Номер 1 
Сумма каких матриц равна \left( \begin{array}{ccc} 
1 & 2 & 4\\ 
0 & 3 & 5\\ 
7 & 8 & 1\\ 
\end{array} \right)?

Ответ:

 (1) \left( \begin{array}{ccc} 4 & 1 & 2\\ -4 & 2 & 3\\ 4 & 3 & 0\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} -3 & 1 & 2\\ 4 & 1 & 2\\ 3 & 5 & 1\\ \end{array} \right) 

 (2) \left( \begin{array}{ccc} 4 & 1 & 2\\ -4 & 2 & 3\\ 4 & 3 & 0\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} -3 & 4 & 3\\ 1 & 1 & 5\\ 2 & 2 & 1\\ \end{array} \right) 

 (3) \left( \begin{array}{ccc} 0 & 2 & 3\\ -2 & 0 & 1\\ 5 & 4 & 3\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 2 & 3 & 4\\ 2 & 4 & -2\\ \end{array} \right) 

 (4) \left( \begin{array}{ccc} 0 & -2 & 5\\ 2 & 0 & 4\\ 3 & 1 & 3\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 2 & 3 & 4\\ 2 & 4 & -2\\ \end{array} \right) 

 (5) \left( \begin{array}{ccc} 0 & -2 & 5\\ 2 & 0 & 4\\ 3 & 1 & 3\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 2 & 3 & 7\\ 2 & 4 & -2\\ \end{array} \right) 

 (6) \left( \begin{array}{ccc} 0 & -2 & 5\\ 0 & 0 & 4\\ 3 & 1 & 3\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 2 & 3 & 4\\ 2 & 4 & -2\\ \end{array} \right) 

Номер 2 
Сумма каких матриц равна \left( \begin{array}{ccc} 
7 & -2 & 5\\ 
2 & 6 & 4\\ 
3 & 1 & 3\\ 
\end{array} \right)?

Ответ:

 (1) \left( \begin{array}{ccc} 3 & -3 & 5\\ 1 & 3 & 0\\ 3 & -3 & 3\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 4 & 1 & 0\\ 2 & 3 & 4\\ 0 & 4 & 0\\ \end{array} \right) 

 (2) \left( \begin{array}{ccc} 3 & -3 & 5\\ 1 & 3 & 0\\ 3 & -3 & 3\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 4 & 1 & 0\\ 1 & 3 & 4\\ 0 & 4 & 0\\ \end{array} \right) 

 (3) \left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 3\\ -3 & 3 & -3\\ 5 & 0 & 3\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 4 & 1 & 0\\ 1 & 3 & 4\\ 0 & 4 & 0\\ \end{array} \right) 

 (4) \left( \begin{array}{ccc} 3 & -3 & 5\\ 1 & 3 & 1\\ 3 & -3 & 3\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 4 & 1 & 0\\ 1 & 3 & 4\\ 0 & 4 & 0\\ \end{array} \right) 

 (5) \left( \begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3\\ 2 & 4 & 3\\ 1 & 0 & 2\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 6 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 1\\ 2 & 1 & 1\\ \end{array} \right) 

 (6) \left( \begin{array}{ccc} 5 & -4 & 6\\ 2 & 1 & 5\\ 1 & -6 & 2\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 2 & 2 & -1\\ 0 & 5 & -1\\ 2 & 5 & 1\\ \end{array} \right) 

Номер 3 
Сумма каких матриц равна \left( \begin{array}{ccc} 
4 & 2 & 6\\ 
9 & 1 & 3\\ 
5 & 4 & 7\\ 
\end{array} \right)?

Ответ:

 (1) \left( \begin{array}{ccc} 2 & -3 & 5\\ 1 & 3 & 0\\ 3 & -3 & 3\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1\\ 8 & 3 & 4\\ 2 & 4 & 0\\ \end{array} \right) 

 (2) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 3\\ -3 & 3 & -3\\ 5 & 0 & 3\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1\\ 8 & -2 & 3\\ 2 & 7 & 4\\ \end{array} \right) 

 (3) \left( \begin{array}{ccc} 2 & -3 & 5\\ 1 & 3 & 0\\ 3 & -3 & 3\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 2 & 8 & 2\\ 1 & -2 & 7\\ 1 & 3 & 4\\ \end{array} \right) 

 (4) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 3\\ 4 & 1 & 2\\ 4 & 2 & 5\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 3\\ 5 & 0 & 1\\ 1 & 2 & 2\\ \end{array} \right) 

 (5) \left( \begin{array}{ccc} 3 & -1 & 4\\ 7 & 0 & 4\\ 4 & 4 & 5\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2\\ 2 & 1 & -1\\ 1 & 0 & 2\\ \end{array} \right) 

Упражнение 5:
Номер 1 
Чему равно произведение матриц   
\left( \begin{array}{ccc} 
1 & 3 & -1\\ 
1 & 0 & -2\\ 
2 & 0 & 1\\ 
\end{array} \right)  \left( \begin{array}{ccc} 
3 & 2 & 3\\ 
2 & 1 & 0\\ 
5 & -2 & 1\\ 
\end{array} \right)?

Ответ:

 (1) \left( \begin{array}{ccc} 4 & 5 & 2\\ -7 & 6 & 1\\ 14 & 3 & 7\\ \end{array} \right) 

 (2) \left( \begin{array}{ccc} 4 & 7 & 2\\ -7 & 6 & 3\\ 11 & 2 & 7\\ \end{array} \right) 

 (3) \left( \begin{array}{ccc} 4 & 0 & 2\\ -7 & 8 & 1\\ 11 & 2 & 3\\ \end{array} \right) 

 (4) \left( \begin{array}{ccc} 4 & 7 & 2\\ -7 & 6 & 1\\ 11 & 2 & 7\\ \end{array} \right) 

 (5) \left( \begin{array}{ccc} 4 & 7 & 2\\ 12 & 6 & 1\\ 11 & 2 & 9\\ \end{array} \right) 

 (6) \left( \begin{array}{ccc} 4 & 7 & 6\\ -7 & 6 & 1\\ 5 & 2 & 7\\ \end{array} \right) 

Номер 2 
Чему равно произведение матриц   
\left( \begin{array}{ccc} 
1 & 2 & 1\\ 
-2 & 4 & -1\\ 
3 & 0 & 2\\ 
\end{array} \right)  \left( \begin{array}{ccc} 
3 & 2 & -2\\ 
2 & -1 & 4\\ 
5 & -2 & 2\\ 
\end{array} \right)?

Ответ:

 (1) \left( \begin{array}{ccc} 1 & -4 & 8\\ -3 & -5 & 8\\ 9 & 2 & -2\\ \end{array} \right) 

 (2) \left( \begin{array}{ccc} 1 & -3 & 9\\ -4 & -5 & 2\\ 8 & 8 & -2\\ \end{array} \right) 

 (3) \left( \begin{array}{ccc} 2 & -5 & 7\\ -3 & -6 & 0\\ 7 & 6 & -2\\ \end{array} \right) 

 (4) \left( \begin{array}{ccc} 12 & -3 & 19\\ -2 & -6 & 2\\ 8 & 18 & -2\\ \end{array} \right) 

 (5) \left( \begin{array}{ccc} 12 & -2 & 8\\ -3 & -6 & 18\\ 19 & 2 & -2\\ \end{array} \right) 

 (6) \left( \begin{array}{ccc} 12 & -2 & 4\\ -3 & -6 & 18\\ 6 & 2 & -2\\ \end{array} \right) 

Номер 3 
Чему равно произведение матриц   
\left( \begin{array}{ccc} 
1 & 0 & 1\\ 
0 & 1 & 0\\ 
1 & 0 & 1\\ 
\end{array} \right)  \left( \begin{array}{ccc} 
4 & 2 & 7\\ 
2 & 6 & 4\\ 
5 & -2 & 7\\ 
\end{array} \right)?

Ответ:

 (1) \left( \begin{array}{ccc} 3 & 4 & 1\\ 2 & 6 & 4\\ 3 & 4 & 1\\ \end{array} \right) 

 (2) \left( \begin{array}{ccc} 9 & 2 & 9\\ 0 & 6 & 0\\ 14 & 4 & 14\\ \end{array} \right) 

 (3) \left( \begin{array}{ccc} 9 & 0 & 14\\ 2 & 6 & 4\\ 9 & 0 & 14\\ \end{array} \right) 

 (4) \left( \begin{array}{ccc} 7 & 0 & 4\\ 1 & 3 & 4\\ 7 & 0 & 4\\ \end{array} \right) 

 (5) \left( \begin{array}{ccc} 7 & 1 & 7\\ 0 & 3 & 0\\ 4 & 4 & 4\\ \end{array} \right) 

 (6) \left( \begin{array}{ccc} 5 & 0 & 1\\ 2 & 6 & 4\\ 5 & 0 & 4\\ \end{array} \right) 

Упражнение 6:
Номер 1 
Какая из матриц является диагональной?

Ответ:

 (1) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ \end{array} \right) 

 (2) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{array} \right) 

 (3) \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ \end{array} \right) 

 (4) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2\\ \end{array} \right) 

 (5) \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 0\\ 2 & 0 & 0\\ \end{array} \right) 

 (6) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3\\ \end{array} \right) 

Номер 2 
Диагональная матрица обладает свойствами

Ответ:

 (1) на диагонали стоят только 1 

 (2) на диагонали стоят только одинаковые элементы 

 (3) на диагонали стоят только отличные от 0 элементы 

 (4) на диагонали всегда найдутся ненулевые элементы 

 (5) вне диагонали стоят только 0 

 (6) всегда число строк и столбцов совпадает 

Номер 3 
Какая из матриц является диагональной?

Ответ:

 (1) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ \end{array} \right) 

 (2) \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right) 

 (3) \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ \end{array} \right) 

 (4) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 2\\ \end{array} \right) 

 (5) \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ \end{array} \right) 

 (6) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3\\ \end{array} \right) 

Упражнение 7:
Номер 1 
Какие из приведенных коэффициентов доказывают линейную зависимость (независимость) векторов  
        \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right)
        \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \\1 \\\end{array} \right)
        \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right)
        \left( \begin{array}{c} 4 \\3 \\3 \\2 \\\end{array} \right)

Ответ:

 (1) 1, 2, 3, 0 

 (2) 1, 2, 3, -1 

 (3) 0, 0, 0, 0 

 (4) 3, 2, 1, 1 

 (5) 2, 4, 6, -2 

 (6) 2, 4, 6, 0 

Номер 2 
Какие из приведенных коэффициентов доказывают линейную зависимость векторов  
        \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right)
        \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\0 \\1 \\\end{array} \right)
        \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right)
        \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\1 \\1 \\\end{array} \right)
        \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \\1 \\\end{array} \right)

Ответ:

 (1) 1, 1, -1, 2, 1 

 (2) 1, 1, -1, 0, 1 

 (3) 1, 1, 0, -1, 0 

 (4) 0, 1, 1, 1, -1 

 (5) 0, 1, 0, -1, 1 

 (6) 0, 0, -1, 1, -1 

Номер 3 
Какие из приведенных коэффициентов доказывают линейную зависимость (независимость) векторов  
        \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\1 \\0 \\\end{array} \right)
        \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right)
        \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\1 \\0 \\\end{array} \right)
        \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\1 \\1 \\\end{array} \right)
        \left( \begin{array}{c} 2 \\4 \\3 \\0 \\\end{array} \right)

Ответ:

 (1) 2, -1, 2, 2, 0 

 (2) 2, 1, 1, 0, -1 

 (3) 1, 2, -2, 1, 0 

 (4) 1, 1/2, 1/2, 0, -1/2 

 (5) 1/2, 1, -1/2, 0, 1 

 (6) 1, -1/2, 1, 0, -1/2 

Упражнение 8:
Номер 1 
Вычислить значение 2С-АВ, если А=\left( \begin{array}{ccc} 
1 & 2\\ 
-2 & 4\\ 
3 & 0\\ 
\end{array} \right)
В=\left( \begin{array}{ccc} 
3 & 2 & -2\\ 
2 & -1 & 4\\ 
\end{array} \right)
С=\left( \begin{array}{ccc} 
1 & 2 & 1\\ 
2 & 0 & -1\\ 
4 & 0 & 2\\ 
\end{array} \right)

Ответ:

 (1) \left( \begin{array}{ccc} -5 & 4 & 4\\ 2 & 8 & -22\\ -1 & 6 & 10\\ \end{array} \right)  

 (2) \left( \begin{array}{ccc} -5 & 6 & -8\\ 2 & 8 & -22\\ -1 & -6 & 10\\ \end{array} \right)  

 (3) \left( \begin{array}{ccc} -5 & 4 & -4\\ 2 & 8 & -22\\ -1 & -6 & 10\\ \end{array} \right)  

 (4) в данном случае произвести расчет нельзя, матрицы не согласованы по числу строк и столбцов 

Номер 2 
Вычислить значение 2C+АВ, если А=\left( \begin{array}{ccc} 
1 & 2\\ 
-2 & 4\\ 
3 & 0\\ 
\end{array} \right)
В=\left( \begin{array}{ccc} 
3 & 2 & -2\\ 
2 & -1 & 4\\ 
\end{array} \right)
С=\left( \begin{array}{ccc} 
1 & 2 & 1\\ 
2 & 0 & -1\\ 
4 & 0 & 2\\ 
\end{array} \right)

Ответ:

 (1) \left( \begin{array}{ccc} 9 & 4 & 8\\ 6 & 8 & 1\\ 17 & 6 & -2\\ \end{array} \right)  

 (2) \left( \begin{array}{ccc} 9 & 4 & 8\\ 6 & -8 & 8\\ 7 & 6 & -2\\ \end{array} \right)  

 (3) \left( \begin{array}{ccc} 9 & 4 & 8\\ 6 & -8 & 18\\ 1 & 6 & 2\\ \end{array} \right)  

 (4) \left( \begin{array}{ccc} 7 & 4 & 8\\ 6 & -8 & 18\\ 17 & 5 & -2\\ \end{array} \right)  

 (5) \left( \begin{array}{ccc} 9 & 4 & 8\\ 6 & -8 & 18\\ 17 & 6 & -2\\ \end{array} \right)  

 (6) В данном случае произвести расчет нельзя, матрицы не согласованы по числу строк и столбцов 

Номер 3 
Вычислить значение 2C-3АВ, если А=\left( \begin{array}{ccc} 
1 & 2\\ 
-2 & 4\\ 
3 & 0\\ 
\end{array} \right)
В=\left( \begin{array}{ccc} 
3 & 2 & -2\\ 
2 & -1 & 4\\ 
\end{array} \right)
С=\left( \begin{array}{ccc} 
1 & 2 & 1\\ 
2 & 0 & -1\\ 
4 & 0 & 2\\ 
\end{array} \right)

Ответ:

 (1) \left( \begin{array}{ccc} 19 & 4 & -16\\ -2 & 24 & 62\\ -15 & 4 & 2\\ \end{array} \right)  

 (2) \left( \begin{array}{ccc} -19 & 4 & 16\\ 2 & 24 & -62\\ -15 & 4 & 22\\ \end{array} \right)  

 (3) \left( \begin{array}{ccc} -19 & 4 & -16\\ -2 & 24 & -62\\ -19 & -18 & 22\\ \end{array} \right)  

 (4) \left( \begin{array}{ccc} -19 & 4 & 16\\ -2 & 24 & 62\\ 15 & 4 & -22\\ \end{array} \right)  

 (5) \left( \begin{array}{ccc} 9 & 4 & -16\\ -2 & 3 & -62\\ -19 & 4 & -22\\ \end{array} \right)  

 (6) В данном случае произвести расчет нельзя, матрицы не согласованы по числу строк и столбцов 

Упражнение 9:
Номер 1 
Дана система из n векторов, содержащих m строк. Ранг системы определяется как

Ответ:

 (1) минимальное из чисел n и m 

 (2) максимальное из чисел n и m 

 (3) максимальное количество линейно независимых векторов, которые из нее можно выделить 

 (4) максимальное количество линейно независимых строк в матрице, составленной из векторов 

 (5) максимальное количество линейно независимых столбцов в матрице, составленной из векторов 

 (6) произведение nm 

Номер 2 
Определить math, если R=\left\{
        \left( \begin{array}{c} 1\\1\\0\\\end{array} \right)
        \left( \begin{array}{c} 0\\1\\1\\\end{array} \right)
        \left( \begin{array}{c} 0\\0\\1\\\end{array} \right)
        \left( \begin{array}{c} 1\\1\\0\\\end{array} \right)
\right\}

Ответ:

 (1) 0 

 (2) 1 

 (3) 2 

 (4) 3 

 (5) 4 

Номер 3 
Определить math, если R=\left\{
        \left( \begin{array}{c} 1\\1\\2\\\end{array} \right)
        \left( \begin{array}{c} 1\\2\\3\\\end{array} \right)
        \left( \begin{array}{c} 1\\0\\1\\\end{array} \right)
        \left( \begin{array}{c} 0\\1\\1\\\end{array} \right)
\right\}

Ответ:

 (1) 0 

 (2) 1 

 (3) 2 

 (4) 3 

 (5) 4 

Упражнение 10:
Номер 1 
Найти координаты вектораХ=\left( 
        \begin{array}{c} 1\\1\\2\\\end{array} \right) в базисе R=\left\{
        \left( \begin{array}{c} 1\\1\\0\\\end{array} \right)
        \left( \begin{array}{c} 0\\1\\1\\\end{array} \right)
        \left( \begin{array}{c} 1\\0\\1\\\end{array} \right)
\right\}

Ответ:

 (1) 1, 0, 1 

 (2) 0, 1, 0 

 (3) 1, 1, 0 

 (4) 0, 1, 1 

 (5) 1, 1, 1 

 (6) 1, 0, 0 

Номер 2 
Если в линейном пространстве определен базис, то

Ответ:

 (1) его можно определить только одним способом 

 (2) вектора, входящие в базис линейно независимы 

 (3) любой вектор линейного пространства выражается через базис 

 (4) в некоторых случаях можно задать более одного разложения вектора данного пространства по базису 

Номер 3 
Найти координаты вектора Х=\left( 
        \begin{array}{c} 2\\1\\2\\\end{array} \right) в базисе R=\left\{
        \left( \begin{array}{c} 1\\1\\0\\\end{array} \right)
        \left( \begin{array}{c} 0\\1\\1\\\end{array} \right)
        \left( \begin{array}{c} 1\\0\\1\\\end{array} \right)
\right\}

Ответ:

 (1) 0,5 0,5 0,5 

 (2) 1,5 0,5 0,5 

 (3) 0,5 1,5 0,5 

 (4) 0,5 0,5 1,5 

 (5) 1,5 1,5 0,5 

 (6) 1,5 0,5 1,5 

Упражнение 11:
Номер 1 
Транспонированная матрица обладает свойствами

Ответ:

 (1) (AT )T =A 

 (2) (AB)T=ATBT  

 (3) (A+B)T=AT+BT  

 (4) (αA)T=αAT  

 (5) число строк всегда равно числу столбцов 

 (6) на диагонали обязательно найдется ненулевой элемент 

Номер 2 
Какие из матриц соответствуют паре прямая матрица - транспонированная матрица

Ответ:

 (1) А=\left( \begin{array}{cccс} 1 & 4 & 7 & 2\\ 2 & 5 & 8 & 2\\ 3 & 6 & 9 & 3\\ \end{array} \right) В=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \\ 7 & 8 & 0\\ 2 & 2 & 3\\ \end{array} \right)  

 (2) А=\left( \begin{array}{cccс} 1 & 4 & 7 & 2\\ 2 & 1 & 8 & 2\\ 3 & 6 & 1 & 3\\ \end{array} \right) В=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\\ 2 & 2 & 3\\ \end{array} \right) 

 (3) А=\left( \begin{array}{cccс} 1 & 4 & 7 & 2\\ 2 & 5 & 8 & 2\\ 3 & 6 & 9 & 3\\ \end{array} \right) В=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\\ 2 & 2 & 3\\ \end{array} \right) 

 (4) А=\left( \begin{array}{cccс} 1 & 0 & 0 & 2\\ 0 & 5 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 9 & 3\\ \end{array} \right) В=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\\ 2 & 2 & 3\\ \end{array} \right) 

 (5) А=\left( \begin{array}{cccс} 1 & 4 & 7 & 2\\ 2 & 5 & 8 & 2\\ 3 & 6 & 9 & 3\\ \end{array} \right) В=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 9\\ 0 & 0 & 0\\ \end{array} \right) 

 (6) А=\left( \begin{array}{cccс} 1 & 1 & 1 & 1\\ 2 & 2 & 2 & 2\\ 3 & 3 & 3 & 3\\ \end{array} \right) В=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 3\\ \end{array} \right) 

Номер 3 
Выберите верные утверждения:

Ответ:

 (1) для любой матрицы А найдется такая матрица I, что AI=A, IA=A, называемая единичной 

 (2) из линейно зависимой системы векторов всегда можно выбрать несколько линейно независимых 

 (3) существуют такие А и B, что rank (AB)=rank (BA) 

 (4) всегда rank A=rank (ATA) 

 (5) всегда rank(αA)=rank A 

Упражнение 12:
Номер 1 
Примерами линейного пространства являются

Ответ:

 (1) квадратные матрицы одной размерности 

 (2) диагональные матрицы одной размерности 

 (3) единичные матрицы одной размерности 

 (4) нулевые матрицы одной размерности 

 (5) ненулевые матрицы одной размерности 

Номер 2 
Примерами линейного пространства являются

Ответ:

 (1) множество столбцов 

 (2) множество строк 

 (3) множество ненулевых столбцов 

 (4) множество ненулевых строк 

 (5) все многочлены 

 (6) многочлены степени от n до m 

Номер 3 
Примерами линейного пространства являются

Ответ:

 (1) все непрерывные на отрезке функции 

 (2) все разрывные на отрезке функции 

 (3) все постоянные на отрезке функции 

 (4) множество иррациональных чисел 

 (5) множество положительных чисел  



Главная / Математика / Линейная алгебра / Тест 2