Главная / Математика /
Линейная алгебра / Тест 4
Линейная алгебра - тест 4
Упражнение 1:
Номер 1
Выбрать однородные системы линейных уравнений
Ответ:
 (1)
 
 (2)
 
 (3)
 
 (4)
 
 (5)
 
 (6)
 
Номер 2
Выбрать неоднородные системы линейных уравнений
Ответ:
 (1)
 
 (2)
 
 (3)
 
 (4)
 
 (5)
 
 (6)
 
Номер 3
Выбрать однородные системы линейных уравнений
Ответ:
 (1)
 
 (2)
 
 (3)
 
 (4)
 
 (5)
 
 (6)
 
Упражнение 2:
Номер 1
Среди предложенных матриц выбрать те, у которых ранг равен 3
Ответ:
 (1)  
 (2)  
 (3)  
 (4)  
 (5)  
 (6)  
Номер 2
Среди предложенных матриц выбрать те, у которых ранг равен 2
Ответ:
 (1)  
 (2)  
 (3)  
 (4)  
 (5)  
 (6)  
Номер 3
Среди предложенных матриц выбрать те, у которых ранг равен 3
Ответ:
 (1)  
 (2)  
 (3)  
 (4)  
 (5)  
 (6)  
Упражнение 3:
Номер 1
Дана система векторов. Какие из векторов входят в линейную оболочку указанной системы?
Ответ:
 
(1)
 
 (2)  
 (3)  
 (4)  
 (5)  
 (6)  
Номер 2
Дана система векторов. Какие из векторов входят в линейную оболочку указанной системы?
Ответ:
 
(1)
 
 (2)  
 (3)  
 (4)  
 (5)  
 (6)  
Номер 3
Дана система векторов. Какие из векторов входят в линейную оболочку указанной системы?
Ответ:
 
(1)
 
 (2)  
 (3)  
 (4)  
 (5)  
Упражнение 4:
Номер 1
Для прямоугольных матриц В
и С
и квадратной матрицы А=ВС
верно
Ответ:
 (1) если у В
линейно независимые
строки, а у С
линейно независимы столбцы, то А
- невырожденная 
 (2) если у С
линейно независимые
строки, а у В
линейно независимы столбцы, то А
- невырожденная 
 (3) если у В
линейно независимы строки, то rank A = rank C
 
Номер 2
Для прямоугольных матриц В
и С
и квадратной матрицы А=ВС
верно
Ответ:
 (1) если у С
линейно независимы строки, то rank A = rank В
 
 (2) если у А
линейно независимы строки, то у В
и С
линейно независимы столбцы 
 (3) если у А
линейно зависимы строки, то у В
или С
линейно зависимы столбцы 
Номер 3
Сколько подпространств размерности 1 может содержаться в Rn
при различных n
Ответ:
 (1) 0 
 (2) 1 
 (3) 2 
 (4) 3 
 (5) 4 
 (6) бесконечно много 
Упражнение 5:
Номер 1
Для двух линейных подпространств L1
и L2
заданы базисы. Выбрать удовлетворяющие условию dim ( L1 + L2 ) = 6
Ответ:
 (1)  
 (2)  
 (3)  
 (4)  
 (5)  
 (6)  
Номер 2
Для двух линейных подпространств L1
и L2
заданы базисы. Выбрать удовлетворяющие условию dim ( L1 + L2 ) = 4
Ответ:
 (1)  
 (2)  
 (3)  
 (4)  
 (5)  
 (6)  
Номер 3
Для двух линейных подпространств L1
и L2
заданы базисы. Выбрать удовлетворяющие условию dim ( L1 + L2 ) = 5
Ответ:
 (1)  
 (2)  
 (3)  
 (4)  
 (5)  
 (6)  
Упражнение 6:
Номер 1
Выбрать ошибочные наборы векторов, составляющих базис
Ответ:
 (1)  
 (2)  
 (3)  
 (4)  
 (5)  
 (6)  
Номер 2
Выбрать наборы векторов, которые могут составлять базис
Ответ:
 (1)  
 (2)  
 (3)  
 (4)  
 (5)  
 (6)  
Номер 3
Выбрать наборы векторов, которые не могут составлять базис
Ответ:
 (1)  
 (2)  
 (3)  
 (4)  
 (5)  
 (6)  
Упражнение 7:
Номер 1
Определить, является ли линейным заданное подпространство для указанного пространства?
Ответ:
 (1) Линейное пространство определено как всевозможные системы
действительных чисел х=(х1,х2,х3)
. Сложение и умножение на число определены как
x+y=(x1+y1,x2+y2,x3+y3) ax=(ax1,ax2,ax3)
. Подпространство определено как
z=(0,z1,z2)
 
 (2) Линейное пространство определено, как множество
геометрических векторов. Подпространство - множество векторов с началом в начале
координат и лежащих в первом октанте 
 (3) Линейное пространство определено как всевозможные многочлены не выше пятой степени.
Подпространство - многочлены вида a0t5+a1t3+a3
 
Номер 2
Определить, является ли линейным заданное подпространство для указанного пространства?
Ответ:
 (1) Линейное пространство определено, как множество
геометрических векторов. Подпространство - множество векторов с началом в начале
координат и лежащих в первом или седьмом октанте (октанты расположено центрально симметрично) 
 (2) Линейное пространство - точки 1 октанта, не лежащие на координатных плоскостях.
Сложение точек Р1=(х1,y1,z1) Р2=(x2,y2,z2)
определено как Р1+Р2=(x1x2,y1y2,z1z2)
,
умножение на число P=(x, y, z
.
Подпространство - множество точек на плоскости z=1
 
 (3) Линейное пространство определено, как множество
геометрических векторов. Подпространство - множество векторов a=Xi+Yj+Zk
, где X,Y,Z
- рациональные числа? 
Номер 3
Определить, является ли линейным заданное подпространство для указанного пространства?
Ответ:
 (1) Линейное пространство определено как всевозможные системы
действительных чисел х=(х1,х2,х3)
. Сложение и умножение на число определены как
x+y=(x1+y1,x2+y2,x3+y3) ax=(ax1,ax2,ax3)
. Подпространство определено как
z=(z1,0,z3)
 
 (2) Линейное пространство определено как всевозможные многочлены не выше пятой степени.
Подпространство - многочлены вида a0t4+a1t2+a3
 
 (3) Линейное пространство определено, как множество
геометрических векторов на плоскости. Подпространство - множество векторов с началом в начале
координат и лежащих в первой четверти 
Упражнение 8:
Номер 1
Линейное пространство определено как всевозможные многочлены не выше пятой степени.
Подпространство R1
- многочлены вида
a0t4+a1t2+a3
Подпространство R2
- многочлены вида b0t+b1
.
Найти R3=R1∩R2
и R4=R1+R2
Ответ:
 (1) R1+R2 =a0t4+a1t2+a2t+a3
 
 (2) R1+R2 =a0t4+a1t3+a2t2+a3t+a4
 
 (3) R1∩R2=a
 
 (4) R1∩R2
пустое множество 
 (5) R1+R2
все пространство 
Номер 2
Линейное пространство определено, как множество
геометрических векторов. R1
- множество векторов, параллельных
плоскости ОXY
R2
- множество векторов, параллельных
плоскости ОXZ
. Найти R3=R1∩R2
и R4=R1+R2
Ответ:
 (1) R3
- множество векторов параллельных оси ОХ
 
 (2) R3
- множество векторов параллельных оси ОY
 
 (3) R3
- множество векторов параллельных оси ОZ
 
 (4) R3
- пустое 
 (5) R4
- все пространство 
 (6) R4
- множество векторов параллельных плоскости ОYZ
 
Номер 3
Линейное пространство определено как всевозможные системы
действительных чисел х=(х1,х2,х3)
. Сложение и умножение на число определены как
x+y=(x1+y1,x2+y2,x3+y3) ax=(ax1,ax2,ax3)
. R1
- множество элементов вида
z=(0,0,z2)
R2
- множество элементов вида z=(z1,0,0)
Найти R3=R1∩R2
и R4=R1+R2
Ответ:
 (1) R3
- множество элементов вида z=(0,0,z1)
 
 (2) R3
- множество элементов вида z=(z2,0,0)
 
 (3) R3
- пустое 
 (4) R3
=(0,0,0)
 
 (5) R4
- все пространство 
 (6) R4
- множество элементов вида z=(z2,0,z1)
 
Упражнение 9:
Номер 1
Найти базис B
и размерность подпространства
L
решений линейной однородной системы уравнений
Ответ:
 (1)  
 (2)  
 (3)  
 (4)  
 (5)  
 (6)  
Номер 2
Найти базис B
и размерность подпространства L
решений линейной однородной системы уравнений
Ответ:
 (1)  
 (2)  
 (3)  
 (4)  
 (5)  
 (6)  
Номер 3
Найти базис B
и размерность подпространства L
решений линейной однородной системы уравнений
Ответ:
 (1)  
 (2)  
 (3)  
 (4)  
 (5)  
 (6)  
Упражнение 10:
Номер 1
Найти общее решение и одно частное решение системы уравнений
Ответ:
 (1) общее решение х1=(х3-3х4-2)/7
х2=(7х4+х3+3)/9
 
 (2) общее решение х3=(х1-9х2-2)/11
х4=(-5х1+х2+10)/11
 
 (3) общее решение х1=(5х2-6х4-2)
х3=(5х2+8х4+2)
 
 (4) частное решение (0,1,1,-1)
 
 (5) частное решение (1,0,-1,1)
 
 (6) частное решение (0,1,-1,1)
 
Номер 2
Найти общее решение и одно частное решение системы уравнений
Ответ:
 (1) общее решение х1=(х3-3х4-2)/7
х2=(7х4+х3+3)/9
 
 (2) общее решение х3=(х1-9х2-2)/11
х4=(-5х1+х2+10)/11
 
 (3) общее решение х3=-11/8х4
х1=2/3х2+1/24х4-1/3
 
 (4) частное решение (-1/3,0,0,0)
 
 (5) частное решение (0,1/3,1,0)
 
 (6) частное решение (1,0,1/3,0)
 
Номер 3
Найти общее решение и одно частное решение системы уравнений
Ответ:
 (1) общее решение х3=-4х1-3х2+1
х4=1
 
 (2) общее решение х3=(х1-9х2-2)/11
х4=(-5х1+х2+10)/11
 
 (3) общее решение х3=-11/8х4
х1=2/3х2+1/24х4-1/3
 
 (4) частное решение (-1,0,1,0)
 
 (5) частное решение (1,-1,0,1)
 
 (6) частное решение (1,0,1,0)
 
Упражнение 11:
Номер 1
Найти общее решение в зависимости от параметра
Ответ:
 
(1) при
система несовместна 
 
(2) при
система несовместна 
 
(3)  
 
(4)  
 
(5)  
Номер 3
Найти общее решение в зависимости от параметра
Ответ:
 
(1)  
 
(2)  
 
(3)