игра брюс 2048
Главная / Математика / Линейная алгебра / Тест 4

Линейная алгебра - тест 4

Упражнение 1:
Номер 1
Выбрать однородные системы линейных уравнений

Ответ:

 (1) \left\{ \begin{array}{c} 2x_1+3x_4-1=0\\ 5x_2-7x_3=2\\ x_2+x_3-x_4=0\\ \end{array}  

 (2) \left\{ \begin{array}{c} 2x_1+3x_4=0\\ 5x_2-7x_3=2\\ x_2+x_3-x_4=0\\ \end{array}  

 (3) \left\{ \begin{array}{c} 2x_1+3x_4=0\\ 5x_2-7x_3=0\\ x_2+x_3-x_4=0\\ \end{array}  

 (4) \left\{ \begin{array}{c} x_1+x_2+x_3+x_4-1=0\\ x_1+x_2-x_3+x_4=2\\ x_1-x_2+x_3-x_4=0\\ x_1-x_2-x_3-x_4-6=0\\ \end{array}  

 (5) \left\{ \begin{array}{c} x_1+x_2+x_3+x_4=0\\ x_1+x_2-x_3+x_4=0\\ x_1-x_2+x_3-x_4=0\\ x_1-x_2-x_3-x_4=0\\ \end{array}  

 (6) \left\{ \begin{array}{c} x_1^2+x_2+x_3+x_4=0\\ x_1+x_2-x_3+x_4=0\\ x_1-x_2+x_3-x_4=0\\ x_1-x_2-x_3-x_4=0\\ \end{array}  


Номер 2
Выбрать неоднородные системы линейных уравнений

Ответ:

 (1) \left\{ \begin{array}{c} 2x_1+3x_4-1=0\\ 5x_2-7x_3=2\\ x_2+x_3-x_4=0\\ \end{array}  

 (2) \left\{ \begin{array}{c} 2x_1+3x_4=0\\ 5x_2-7x_3=2\\ x_2+x_3-x_4=0\\ \end{array}  

 (3) \left\{ \begin{array}{c} 2x_1+3x_4=0\\ 5x_2-7x_3=0\\ x_2+x_3-x_4=0\\ \end{array}  

 (4) \left\{ \begin{array}{c} x_1+x_2+x_3+x_4-1=0\\ x_1+x_2-x_3+x_4=2\\ x_1-x_2+x_3-x_4=0\\ x_1-x_2-x_3-x_4-6=0\\ \end{array}  

 (5) \left\{ \begin{array}{c} x_1+x_2+x_3+x_4=0\\ x_1+x_2-x_3+x_4=0\\ x_1-x_2+x_3-x_4=0\\ x_1-x_2-x_3-x_4=0\\ \end{array}  

 (6) \left\{ \begin{array}{c} x_1^2+x_2+x_3+x_4=0\\ x_1+x_2-x_3+x_4=0\\ x_1-x_2+x_3-x_4=0\\ x_1-x_2-x_3-x_4=0\\ \end{array}  


Номер 3
Выбрать однородные системы линейных уравнений

Ответ:

 (1) \left\{ \begin{array}{c} \sqrt2x_1+3x_4-1=0\\ 5x_2-7x_3^2-2=0\\ x_2+x_3-x_4=0\\ \end{array}  

 (2) \left\{ \begin{array}{c} 2x_1+3x_4=0\\ 5x_2-7x_3=2\\ x_1+x_2-x_4=0\\ \end{array}  

 (3) \left\{ \begin{array}{c} 2x_1+3x_4=0\\ 5x_2-\sqrt7x_3=0\\ x_2+x_3-x_4=0\\ \end{array}  

 (4) \left\{ \begin{array}{c} x_1+x_2+x_3=x_4\\ x_1+x_2-x_3+x_4=0\\ x_1-x_2+x_3-x_4=0\\ x_1-x_2-x_3=x_4\\ \end{array}  

 (5) \left\{ \begin{array}{c} x_1+x_2+x_3=x_4\\ x_1+x_2-x_3+x_4=0\\ x_1-x_2+\sqrt2x_3-x_4=0\\ x_1-x_2-x_3=x_4\\ \end{array}  

 (6) \left\{ \begin{array}{c} x_1+x_2+x_3=x_4\\ x_1+x_2-x_3^2+x_4=0\\ x_1-x_2+x_3-x_4=0\\ x_1-x_2-x_3=x_4\\ \end{array}  


Упражнение 2:
Номер 1
Среди предложенных матриц выбрать те, у которых ранг равен 3

Ответ:

 (1) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 3\\ \end{array} \right) 

 (2) \left( \begin{array}{cc} 2 & 0\\ 0 & 1\\ 0 & 2\\ \end{array} \right) 

 (3) \left( \begin{array}{cccc} 2 & 5 & 1 & 0\\ 1 & 1 & -1 & 1\\ 3 & 0 & 1 & 2\\ 7 & 4 & 4 & 3\\ \end{array} \right) 

 (4) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 3\\ 0 & 1 & 0\\ \end{array} \right) 

 (5) \left( \begin{array}{cccc} 2 & 5 & 1 & 0\\ 1 & 1 & -1 & 1\\ 3 & 0 & 1 & 2\\ 3 & 4 & 4 & 3\\ \end{array} \right) 

 (6) \left( \begin{array}{cccc} 1 & 3 & 1 & 0\\ 2 & 2 & -1 & 1\\ 3 & 1 & 2 & 0\\ 3 & 5 & 5 & -1\\ \end{array} \right) 


Номер 2
Среди предложенных матриц выбрать те, у которых ранг равен 2

Ответ:

 (1) \left( \begin{array}{cc} 2 & 0\\ 1 & 1\\ 3 & 2\\ \end{array} \right) 

 (2) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 3\\ 1 & 1 & 2\\ \end{array} \right) 

 (3) \left( \begin{array}{cc} 2 & 2\\ 1 & 1\\ \end{array} \right) 

 (4) \left( \begin{array}{cc} 2 & 1\\ 1 & 1\\ \end{array} \right) 

 (5) \left( \begin{array}{cccc} 1 & 3 & 1 & 0\\ 2 & 2 & -1 & 1\\ 3 & 1 & 2 & 0\\ 3 & 5 & 5 & -1\\ \end{array} \right) 

 (6) \left( \begin{array}{cccc} 1 & 3 & 2 & 0\\ 2 & 2 & -1 & 1\\ 3 & 1 & 2 & 0\\ 8 & 4 & 3 & 1\\ \end{array} \right) 


Номер 3
Среди предложенных матриц выбрать те, у которых ранг равен 3

Ответ:

 (1) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1\\ \end{array} \right) 

 (2) \left( \begin{array}{cc} 2 & 0\\ 0 & 1\\ 0 & 2\\ \end{array} \right) 

 (3) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 2\\ 1 & 2 & 1\\ \end{array} \right) 

 (4) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 2\\ 2 & 3 & 6\\ \end{array} \right) 

 (5) \left( \begin{array}{cccc} 2 & 3 & 2 & 1\\ 1 & 2 & 3 & 1\\ 3 & 2 & 2 & 1\\ 7 & 6 & 7 & 3\\ \end{array} \right) 

 (6) \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2 & 2\\ 2 & 1 & 2 & 1\\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 1 & 1 & 4 & 3\\ \end{array} \right) 


Упражнение 3:
Номер 1
Дана система векторов\left\{
        \left( \begin{array}{c} 1\\1\\0\\\end{array} \right)
        \left( \begin{array}{c} 0\\1\\1\\\end{array} \right)
        \left( \begin{array}{c} 1\\3\\2\\\end{array} \right)
\right\}. Какие из векторов входят в линейную оболочку указанной системы?

Ответ:

 (1) math 

 (2) \left( \begin{array}{c} 1\\2\\0\\\end{array} \right) 

 (3) \left( \begin{array}{c} 1\\3\\7\\\end{array} \right) 

 (4) \left( \begin{array}{c} 0\\3\\6\\\end{array} \right) 

 (5) \left( \begin{array}{c} 3\\2\\6\\\end{array} \right) 

 (6) \left( \begin{array}{c} 3\\3\\9\\\end{array} \right) 


Номер 2
Дана система векторов\left\{
        \left( \begin{array}{c} 1\\1\\2\\\end{array} \right)
        \left( \begin{array}{c} 0\\1\\0\\\end{array} \right)
        \left( \begin{array}{c} 1\\0\\2\\\end{array} \right)
\right\}. Какие из векторов входят в линейную оболочку указанной системы?

Ответ:

 (1) math 

 (2) \left( \begin{array}{c} 3\\2\\6\\\end{array} \right) 

 (3) \left( \begin{array}{c} 6\\1\\5\\\end{array} \right) 

 (4) \left( \begin{array}{c} 1\\2\\1\\\end{array} \right) 

 (5) \left( \begin{array}{c} 3\\2\\6\\1\\\end{array} \right) 

 (6) \left( \begin{array}{c} 5\\-1\\6\\\end{array} \right) 


Номер 3
Дана система векторов\left\{
        \left( \begin{array}{c} 3\\2\\2\\\end{array} \right)
        \left( \begin{array}{c} 1\\1\\0\\\end{array} \right)
        \left( \begin{array}{c} 1\\0\\2\\\end{array} \right)
\right\}. Какие из векторов входят в линейную оболочку указанной системы?

Ответ:

 (1) math 

 (2) \left( \begin{array}{c} 1\\2\\1\\\end{array} \right) 

 (3) \left( \begin{array}{c} 9\\2\\5\\\end{array} \right) 

 (4) \left( \begin{array}{c} 9\\3\\3\\\end{array} \right) 

 (5) \left( \begin{array}{c} 2\\3\\2\\\end{array} \right) 


Упражнение 4:
Номер 1
Для прямоугольных матриц В и С и квадратной матрицы А=ВС верно

Ответ:

 (1) если у В линейно независимые строки, а у С линейно независимы столбцы, то А - невырожденная 

 (2) если у С линейно независимые строки, а у В линейно независимы столбцы, то А - невырожденная 

 (3) если у В линейно независимы строки, то rank A = rank C 


Номер 2
Для прямоугольных матриц В и С и квадратной матрицы А=ВС верно

Ответ:

 (1) если у С линейно независимы строки, то rank A = rank В 

 (2) если у А линейно независимы строки, то у В и С линейно независимы столбцы 

 (3) если у А линейно зависимы строки, то у В или С линейно зависимы столбцы 


Номер 3
Сколько подпространств размерности 1 может содержаться в Rn при различных n

Ответ:

 (1)

 (2)

 (3)

 (4)

 (5)

 (6) бесконечно много 


Упражнение 5:
Номер 1
Для двух линейных подпространств L1 и L2 
        заданы базисы. Выбрать удовлетворяющие условию dim ( L1 + L2 ) = 6

Ответ:

 (1) L1=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\1 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\1 \\0 \\0 \\1 \\\end{array} \right) \right \}~~~ L2=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\1 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\1 \\0 \\0 \\1 \\\end{array} \right) \right \}  

 (2) L1=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\1 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \right \}~~~ L2=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\1 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \right \}  

 (3) L1=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \right \}~~~ L2=\left \{ \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\0 \\1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \right \}  

 (4) L1=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \right \}~~~ L2=\left \{ \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\1 \\0\\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\0\\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \\0 \\0 \\0\\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\0\\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\0\\\end{array} \right) \right \}  

 (5) L1=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \right \}~~~ L2=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\1 \\\end{array} \right) \right \}  

 (6) L1=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \right \}~~~ L2=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \right \}  


Номер 2
Для двух линейных подпространств L1 и L2 
        заданы базисы. Выбрать удовлетворяющие условию dim ( L1 + L2 ) = 4

Ответ:

 (1) L1=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\1 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \right \}~~~ L2=\left \{ \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\1 \\1 \\1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \\1 \\1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\1 \\1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\1 \\\end{array} \right) \right \}  

 (2) L1=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\1 \\1 \\1 \\\end{array} \right) \right \}~~~ L2=\left \{ \left( \begin{array}{c} 2 \\2 \\2 \\2 \\2 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 2 \\0 \\1 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 2 \\0 \\1 \\0 \\1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 2 \\0 \\0 \\1 \\1 \\\end{array} \right) \right \}  

 (3) L1=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \right \}~~~ L2=\left \{ \left( \begin{array}{c} 2 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\2 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\2 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\2 \\0 \\\end{array} \right) \right \}  

 (4) L1=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \right \}~~~ L2=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \right \}  

 (5) L1=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \right \}~~~ L2=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\1 \\1 \\\end{array} \right) \right \}  

 (6) L1=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\1 \\1 \\\end{array} \right) \right \}~~~ L2=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\2 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\2 \\2 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\2 \\2 \\2 \\1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \\2 \\1 \\\end{array} \right) \right \}  


Номер 3
Для двух линейных подпространств L1 и L2 
        заданы базисы. Выбрать удовлетворяющие условию dim ( L1 + L2 ) = 5

Ответ:

 (1) L1=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 2 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 3 \\2 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 4 \\3 \\2 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \right \}~~~ L2=\left \{ \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 3 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 6 \\3 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 9 \\6 \\3 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \right \}  

 (2) L1=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\1 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \right \}~~~ L2=\left \{ \left( \begin{array}{c} 3 \\2 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 5 \\5 \\2 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \right \}  

 (3) L1=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\1 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \right \}~~~ L2=\left \{ \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\1 \\\end{array} \right) \right \}  

 (4) L1=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\1 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \right \}~~~ L2=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \right \}  

 (5) L1=\left \{ \left( \begin{array}{c} 2 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\2 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\2 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\2 \\1 \\\end{array} \right) \right \}~~~ L2=\left \{ \left( \begin{array}{c} 4 \\4 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\4 \\4 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\4 \\4 \\1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\4 \\4 \\\end{array} \right) \right \}  

 (6) L1=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\2 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\2 \\3 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\2 \\3 \\4 \\0 \\\end{array} \right) \right \}~~~ L2=\left \{ \left( \begin{array}{c} -1 \\2 \\3 \\4 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} -1 \\-2 \\3 \\4 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} -1 \\-2 \\-4 \\4 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\1 \\\end{array} \right) \right \}  


Упражнение 6:
Номер 1
Выбрать ошибочные наборы векторов, составляющих базис

Ответ:

 (1) \left \{ \left( \begin{array}{c} 2 \\0 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\2 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\2 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\2 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\2 \\0 \\\end{array} \right) \right \} 

 (2) \left \{ \left( \begin{array}{c} 2 \\0 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 2 \\2 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\2 \\2 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\2 \\2 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\2 \\2 \\0 \\\end{array} \right) \right \} 

 (3) \left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \right \} 

 (4) \left \{ \left( \begin{array}{c} 2 \\2 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\2 \\4 \\2 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\2 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\2 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\2 \\0 \\\end{array} \right) \right \} 

 (5) \left \{ \left( \begin{array}{c} 0 \\2 \\2 \\2 \\2 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\2 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\2 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\2 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\2 \\0 \\\end{array} \right) \right \} 

 (6) \left \{ \left( \begin{array}{c} 2 \\1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\2 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\2 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 2 \\5 \\4 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\2 \\0 \\\end{array} \right) \right \} 


Номер 2
Выбрать наборы векторов, которые могут составлять базис

Ответ:

 (1) \left \{ \left( \begin{array}{c} 2 \\2 \\2 \\2 \\2 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\2 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\2 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\2 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\2 \\0 \\\end{array} \right) \right \} 

 (2) \left \{ \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\1 \\1 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\2 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\2 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\2 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\2 \\0 \\\end{array} \right) \right \} 

 (3) \left \{ \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \right \} 

 (4) \left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\1 \\1 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\1 \\1 \\\end{array} \right) \right \} 

 (5) \left \{ \left( \begin{array}{c} 0 \\1 \\2 \\3 \\4 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\2 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\2 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\2 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\2 \\0 \\\end{array} \right) \right \} 

 (6) \left \{ \left( \begin{array}{c} 2 \\0 \\0 \\0 \\0 \\2 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\2 \\0 \\0 \\2 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\2 \\2 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\2 \\2 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\2 \\0 \\0 \\2 \\0 \\\end{array} \right) \right \} 


Номер 3
Выбрать наборы векторов, которые не могут составлять базис

Ответ:

 (1) \left \{ \left( \begin{array}{c} 2 \\1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\2 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\2 \\1 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\1 \\2 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\2 \\1 \\\end{array} \right) \right \} 

 (2) \left \{ \left( \begin{array}{c} 2 \\1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\2 \\1 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\2 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\2 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 5 \\3 \\3 \\2 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \right \} 

 (3) \left \{ \left( \begin{array}{c} 2 \\2 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\2 \\2 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\2 \\2 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\2 \\2 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\2 \\2 \\\end{array} \right) \right \} 

 (4) \left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\1 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\0 \\2 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 3 \\0 \\0 \\2 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\4 \\0 \\0 \\2 \\6 \\\end{array} \right) \right \} 

 (5) \left \{ \left( \begin{array}{c} 2 \\3 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\2 \\0 \\4 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\2 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\2 \\0 \\2 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\2 \\9 \\\end{array} \right) \right \} 

 (6) \left \{ \left( \begin{array}{c} 2 \\0 \\3 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\2 \\0 \\0 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 2 \\6 \\3 \\2 \\2 \\5 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\4 \\0 \\2 \\0 \\0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\0 \\0 \\0 \\2 \\5 \\\end{array} \right) \right \} 


Упражнение 7:
Номер 1
Определить, является ли линейным заданное подпространство для указанного пространства?

Ответ:

 (1) Линейное пространство определено как всевозможные системы действительных чисел х=(х1,х2,х3). Сложение и умножение на число определены как x+y=(x1+y1,x2+y2,x3+y3) ax=(ax1,ax2,ax3). Подпространство определено как z=(0,z1,z2) 

 (2) Линейное пространство определено, как множество геометрических векторов. Подпространство - множество векторов с началом в начале координат и лежащих в первом октанте 

 (3) Линейное пространство определено как всевозможные многочлены не выше пятой степени. Подпространство - многочлены вида a0t5+a1t3+a3 


Номер 2
Определить, является ли линейным заданное подпространство для указанного пространства?

Ответ:

 (1) Линейное пространство определено, как множество геометрических векторов. Подпространство - множество векторов с началом в начале координат и лежащих в первом или седьмом октанте (октанты расположено центрально симметрично) 

 (2) Линейное пространство - точки 1 октанта, не лежащие на координатных плоскостях. Сложение точек Р1=(х1,y1,z1) Р2=(x2,y2,z2) определено как Р1+Р2=(x1x2,y1y2,z1z2), умножение на число P=(x, y, z. Подпространство - множество точек на плоскости z=1 

 (3) Линейное пространство определено, как множество геометрических векторов. Подпространство - множество векторов a=Xi+Yj+Zk, где X,Y,Z - рациональные числа? 


Номер 3
Определить, является ли линейным заданное подпространство для указанного пространства?

Ответ:

 (1) Линейное пространство определено как всевозможные системы действительных чисел х=(х1,х2,х3). Сложение и умножение на число определены как x+y=(x1+y1,x2+y2,x3+y3) ax=(ax1,ax2,ax3). Подпространство определено как z=(z1,0,z3) 

 (2) Линейное пространство определено как всевозможные многочлены не выше пятой степени. Подпространство - многочлены вида a0t4+a1t2+a3 

 (3) Линейное пространство определено, как множество геометрических векторов на плоскости. Подпространство - множество векторов с началом в начале координат и лежащих в первой четверти 


Упражнение 8:
Номер 1
Линейное пространство определено как всевозможные многочлены не выше пятой степени.
        Подпространство R1 - многочлены вида 
        a0t4+a1t2+a3 
        Подпространство R2 - многочлены вида b0t+b1.
        Найти R3=R1∩R2 и R4=R1+R2
        

Ответ:

 (1) R1+R2 =a0t4+a1t2+a2t+a3 

 (2) R1+R2 =a0t4+a1t3+a2t2+a3t+a4 

 (3) R1∩R2=a 

 (4) R1∩R2 пустое множество 

 (5) R1+R2 все пространство 


Номер 2
Линейное пространство определено, как множество 
        геометрических векторов. R1 - множество векторов, параллельных 
        плоскости ОXY R2 - множество векторов, параллельных 
        плоскости ОXZ. Найти R3=R1∩R2 и R4=R1+R2

Ответ:

 (1) R3 - множество векторов параллельных оси ОХ 

 (2) R3 - множество векторов параллельных оси ОY 

 (3) R3 - множество векторов параллельных оси ОZ 

 (4) R3 - пустое 

 (5) R4 - все пространство 

 (6) R4 - множество векторов параллельных плоскости ОYZ 


Номер 3
Линейное пространство определено как всевозможные системы 
        действительных чисел х=(х1,х2,х3). Сложение и умножение на число определены как
        x+y=(x1+y1,x2+y2,x3+y3) ax=(ax1,ax2,ax3). R1 - множество элементов вида
        z=(0,0,z2) R2 - множество элементов вида z=(z1,0,0)
        Найти R3=R1∩R2 и R4=R1+R2

Ответ:

 (1) R3 - множество элементов вида z=(0,0,z1) 

 (2) R3 - множество элементов вида z=(z2,0,0) 

 (3) R3 - пустое 

 (4) R3=(0,0,0) 

 (5) R4 - все пространство 

 (6) R4- множество элементов вида z=(z2,0,z1) 


Упражнение 9:
Номер 1
Найти базис B и размерность подпространства 
        L решений линейной однородной системы уравнений
         \left\{ \begin{array}{r} 
x_1+2x_2+3x_3+4x_4=0\\ 
1/2x_1+x_2+3/2x_3+2x_4=0\\ 
1/3x_1+2/3x_2+x_3+4/3x_4=0\\ 
1/4x_1+1/2x_2+3/4x_3+x_4=0\\
\end{array}

Ответ:

 (1) dim~L=3~~~B=\left \{ \left( \begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} -3 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} -4 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\\end{array} \right) \right \} 

 (2) dim~L=3~~~B=\left \{ \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\\end{array} \right) \right \} 

 (3) dim~L=3~~~B=\left \{ \left( \begin{array}{c} -5 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} -7 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} -6 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\\end{array} \right) \right \} 

 (4) dim~L=2~~~B=\left \{ \left( \begin{array}{c} -4 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} -3 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\\end{array} \right) \right \} 

 (5) dim~L=2~~~B=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\\end{array} \right) \right \} 

 (6) dim~L=2~~~B=\left \{ \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\\end{array} \right) \right \} 


Номер 2
Найти базис B и размерность подпространства L решений линейной однородной системы уравнений
         \left\{ \begin{array}{r} 
x_1-2x_2+x_3=0\\ 
2x_1-x_2-x_3=0\\ 
-2x_1+4x_2-2x_3=0\\ 
\end{array}

Ответ:

 (1) dim~L=2~~~B=\left \{ \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ 0 \\\end{array} \right) \right \} 

 (2) dim~L=2~~~B=\left \{ \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 0 \\\end{array} \right) \right \} 

 (3) dim~L=2~~~B=\left \{ \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 1 \\\end{array} \right) \right \} 

 (4) dim~L=1~~~B=\left \{ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \\\end{array} \right) \right \} 

 (5) dim~L=1~~~B=\left \{ \left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ -1 \\\end{array} \right) \right \} 

 (6) dim~L=1~~~B=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\\end{array} \right) \right \} 


Номер 3
Найти базис B и размерность подпространства L решений линейной однородной системы уравнений
         \left\{ \begin{array}{r} 
x_1+x_2-x_3+x_4=0\\ 
x_1-x_2+x_3-x_4=0\\ 
3x_1+x_2-x_3+x_4=0\\ 
3x_1-x_2+x_3-x_4=0\\ 
\end{array}

Ответ:

 (1) dim~L=2~~~B=\left \{ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\\end{array} \right) \right \} 

 (2) dim~L=2~~~B=\left \{ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\\end{array} \right) \right \} 

 (3) dim~L=2~~~B=\left \{ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\\end{array} \right) \right \} 

 (4) dim~L=3~~~B=\left \{ \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \\\end{array} \right) \right \} 

 (5) dim~L=3~~~B=\left \{ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \\\end{array} \right) \right \} 

 (6) dim~L=3~~~B=\left \{ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ -1 \\ 1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ -1 \\ 1 \\\end{array} \right) \right \} 


Упражнение 10:
Номер 1
Найти общее решение и одно частное решение системы уравнений 
         \left\{ \begin{array}{r} 
5x_1+3x_2+5x_3+12x_4=10\\ 
2x_1+2x_2+3x_3+5x_4=4\\ 
x_1+7x_2+9x_3+4x_4=2\\ 
\end{array}

Ответ:

 (1) общее решение х1=(х3-3х4-2)/7 х2=(7х43+3)/9 

 (2) общее решение х3=(х1-9х2-2)/11 х4=(-5х12+10)/11 

 (3) общее решение х1=(5х2-6х4-2) х3=(5х2+8х4+2) 

 (4) частное решение (0,1,1,-1) 

 (5) частное решение (1,0,-1,1) 

 (6) частное решение (0,1,-1,1) 


Номер 2
Найти общее решение и одно частное решение системы уравнений 
         \left\{ \begin{array}{r} 
-9x_1+6x_2+7x_3+10x_4=3\\ 
-6x_1+4x_2+2x_3+3x_4=2\\ 
-3x_1+2x_2-11x_3-15x_4=1\\ 
\end{array}

Ответ:

 (1) общее решение х1=(х3-3х4-2)/7 х2=(7х43+3)/9 

 (2) общее решение х3=(х1-9х2-2)/11 х4=(-5х12+10)/11 

 (3) общее решение х3=-11/8х4 х1=2/3х2+1/24х4-1/3 

 (4) частное решение (-1/3,0,0,0) 

 (5) частное решение (0,1/3,1,0) 

 (6) частное решение (1,0,1/3,0) 


Номер 3
Найти общее решение и одно частное решение системы уравнений 
         \left\{ \begin{array}{r} 
12x_1+9x_2+3x_3+10x_4=13\\ 
4x_1+3x_2+x_3+2x_4=3\\ 
8x_1+6x_2+2x_3+5x_4=7\\ 
\end{array}

Ответ:

 (1) общее решение х3=-4х1-3х2+1 х4=1 

 (2) общее решение х3=(х1-9х2-2)/11 х4=(-5х12+10)/11 

 (3) общее решение х3=-11/8х4 х1=2/3х2+1/24х4-1/3 

 (4) частное решение (-1,0,1,0) 

 (5) частное решение (1,-1,0,1) 

 (6) частное решение (1,0,1,0) 


Упражнение 11:
Номер 1
Найти общее решение в зависимости от параметра 
         \left\{ \begin{array}{r} 
18x_1+6x_2+3x_3+2x_4=5\\ 
-12x_1-3x_2-3x_3+3x_4=-6\\ 
4x_1+5x_2+2x_3+3x_4=3\\ 
\lambda x_1+4x_2+x_3+4x_4=2\\ 
\end{array}

Ответ:

 (1) при math система несовместна 

 (2) при math система несовместна 

 (3) math 

 (4) math 

 (5) math 


Номер 3
Найти общее решение в зависимости от параметра 
 \left\{ \begin{array}{r} 
2x_1+5x_2+x_3+3x_4=2\\ 
4x_1+6x_2+3x_3+5x_4=4\\ 
4x_1+14x_2+x_3+7x_4=4\\ 
2x_1-3x_2+3x_3+\lambda x_4=7\\ 
\end{array}

Ответ:

 (1) math 

 (2) math 

 (3) math 




Главная / Математика / Линейная алгебра / Тест 4