Главная / Математика /
Линейная алгебра / Тест 6
Линейная алгебра - тест 6
Упражнение 1:
Номер 1
Найти det A
, если
Ответ:
 (1) 4 
 (2) 5 
 (3) 6 
 (4) -4 
 (5) -5 
 (6) -6 
Номер 2
Найти det A
, если
Ответ:
 (1) 4 
 (2) 5 
 (3) 6 
 (4) -4 
 (5) -5 
 (6) -6 
Номер 3
Найти det A
, если
Ответ:
 (1) 4 
 (2) 5 
 (3) 6 
 (4) -4 
 (5) -5 
 (6) -6 
Упражнение 2:
Номер 1
Какие из матриц являются минорами матрицы
Ответ:
 (1)  
 (2)  
 (3)  
 (4)  
 (5)  
 (6)  
Номер 2
Какие из матриц являются минорами матрицы
Ответ:
 (1)  
 (2)  
 (3)  
 (4)  
 (5)  
 (6)  
Номер 3
Какие из матриц являются минорами матрицы
Ответ:
 (1)  
 (2)  
 (3)  
 (4)  
 (5)  
 (6)  
Упражнение 3:
Номер 1
Выбрать алгебраические дополнения для
Ответ:
 (1)  
 (2)  
 (3)  
 (4)  
 (5)  
 (6)  
Номер 2
Выбрать алгебраические дополнения для
Ответ:
 (1)  
 (2)  
 (3)  
 (4)  
 (5)  
 (6)  
Номер 3
Выбрать алгебраические дополнения для
Ответ:
 (1)  
 (2)  
 (3)  
 (4)  
 (5)  
 (6)  
Упражнение 4:
Номер 1
Выбрать четные перестановки
Ответ:
 (1) (1,2,3,4) 
 (2) (1,3,2,4) 
 (3) (1,4,3,2) 
 (4) (1,4,2,3) 
 (5) (3,2,4,1) 
 (6) (3,4,2,1) 
Номер 2
Выбрать нечетные перестановки
Ответ:
 (1) (1,2,4,3) 
 (2) (1,3,5,4) 
 (3) (4,1,3,2) 
 (4) (1,4,3,2) 
 (5) (3,4,2,1) 
 (6) (4,3,2,1) 
Номер 3
Выбрать четные перестановки
Ответ:
 (1) (2,1,3,4) 
 (2) (1,3,4,2) 
 (3) (1,3,4,2) 
 (4) (1,4,2,3) 
 (5) (3,2,4,1) 
 (6) (2,4,1,3) 
Упражнение 5:
Номер 1
Выбрать правильные утверждения для квадратных матриц
Ответ:
 (1) у любой матрицы можно вычислить детерминант 
 (2) если матрица невырожденная, то детерминант неравен нулю 
 (3) если детерминант равен нулю, то матрица вырожденная 
 (4) у любой матрицы det(A)=det(AT)
 
 (5) не существует матрицы, у которой det(A)=det(A)
 
 (6) для любых матриц A
и B
верно det(AB)=det(A)det(B)
 
Номер 2
Выбрать правильные утверждения
Ответ:
 (1) если матрица неквадратная, то ее детерминант отличен от нуля 
 (2) если матрица неквадратная, то ее детерминант равен нулю 
 (3) у любой матрицы можно вычислить детерминант 
 (4) для диагональной матрицы можно найти детерминант 
 (5) для любых матриц A
и B
верно det(AB)=det(A)det(B)
 
 (6) детерминант вырожденной квадратной матрицы равен нулю 
Номер 3
Выбрать правильные утверждения
Ответ:
 (1) линейная комбинация строк, добавленная к матрице, ее детерминанта не меняет 
 (2) если детерминант матрицы равен нулю, то в матрице есть нулевой столбец 
 (3) если детерминант матрицы равен нулю, то в матрице есть нулевая строка 
 (4) если в матрице есть нулевой столбец, то детерминант матрицы равен нулю  
 (5) если в матрице есть нулевая строка, то детерминант матрицы равен нулю 
 (6)  
Упражнение 6:
Номер 1
Выбрать правильные утверждения
Ответ:
 (1) существует ненулевая матрица перестановка столбцов которой не изменяет ее детерминанта 
 (2) det(A)=ndet(A)
, где n-размерность матрицы А
 
 (3)
 
Номер 2
Ответ:
 (1) если после перстановки столбцов матрицы детерминант не изменился, то матрица - вырожденная 
 (2) если столбец матрицы умножить на число, то детерминант умножится на то же самое число 
 (3) det(-A)=-det(A)
 
Номер 3
Ответ:
 (1) перстановка столбцов меняет знак детерминанта 
 (2) если det(-A)=-det(A)
и det(A)≠0
, то матрица нечетной размерности 
 (3) если матрица нечетной размерности, то det(-A)=-det(A)
 
Упражнение 7:
Номер 1
Найти собственные числа матрицы
Ответ:
 (1) 4 
 (2) 5 
 (3) 6 
 (4) 7 
 (5) 8 
 (6) 9 
Номер 2
Найти собственные числа матрицы
Ответ:
 (1) 1 
 (2) 2 
 (3) 3 
 (4) 4 
 (5) 5 
 (6) 6 
Номер 3
Найти собственные числа матрицы
Ответ:
 (1) 1 
 (2) 2 
 (3) 3 
 (4) 4 
 (5) 5 
 (6) 6 
Упражнение 8:
Номер 1
Какие из векторов являются собственными для характеристического
числа =7
матрицы
Ответ:
 
(1)  
 
(2)  
 
(3)  
 
(4)  
 
(5)  
 
(6)  
Номер 2
Какие из векторов являются собственными для характеристического
числа =-2
матрицы
Ответ:
 
(1)  
 
(2)  
 
(3)  
 
(4)  
 
(5)  
 
(6)  
Номер 3
Какие из векторов являются собственными для характеристического
числа =4
матрицы
Ответ:
 
(1)  
 
(2)  
 
(3)  
 
(4)  
 
(5)  
 
(6)  
Упражнение 9:
Номер 1
Выбрать верные высказывания
Ответ:
 (1) не существует матрицы 3х3, у которой любые две
строки линейно независимы, а три зависимы 
 (2) det(A-I)=0
равносильно
существованию ненулевого решения для системы (A-I)х=0
 
 (3) пусть характеристическое уравнение (-1)
n n+...+det(A)=0
, имеет только вещественные
корни, то они различные и их количество равно n 
 (4) геометрическая кратность корня
характеристического уравнения не превосходит алгебраическую кратность 
Номер 2
Выбрать верные высказывания для матрицы А
и многочлена
p(A)=a 0I + a 1A +...+ a mA m
Ответ:
 (1) собственные вектора А
являются собственными векторами р(А)
 
 (2) собственные числа р(А)
являются собственными числами А
 
 (3) собственные числа А
являются собственными числами р(А)
 
 (4) геометрическая кратность корней р(А)
может быть больше геометрической кратности корней А
 
Номер 3
Пусть А
- матрица 2х2 имеет два различных
собственных числа и А2=-А
, то эти числа равны
Ответ:
 (1) -2 
 (2) -1 
 (3) 0 
 (4) 1 
 (5) 2 
Упражнение 10:
Номер 1
Найти производную от det(A)
по х, если
Ответ:
 (1) x4+3x3+2x2+x+1
 
 (2) x4+2x2+1
 
 (3) x4+2x2
 
 (4) 3x3+x+1
 
 (5) 3x3+x
 
 (6) 0 
Номер 2
Найти производную от det(A)
по х, если
Ответ:
 (1) x2(x+3)(x-5)
 
 (2) x4-2x3-15x2
 
 (3) 5x4+8x3-5x2
 
 (4) -5x4+8x3+5x2
 
 (5) x2(x-3)(x+5)
 
 (6) x4-2x3-15x2
 
Номер 3
Найти производную от det(A)
по х, если
Ответ:
 (1) x5-2x2
 
 (2) 6x2(x3-1)
 
 (3) x3(x2-2)
 
 (4) 6x2(x3+1)
 
 (5) 6x5+6x2
 
 (6) 6x5-6x2
 
Упражнение 11:
Номер 1
Пусть матрицы А
и В
такие, что их
элементы связваны соотношением аij≥bij≥0
, то
Ответ:
 (1) det(A)≥det(B)
 
 (2) det(B)≥det(A)
 
 (3) det(A+B)≥det(B)
 
 (4) det(A)≥det(A-B)
 
Номер 2
Выбрать верные утверждения
Ответ:
 (1) существует матрица 3х3, у которой любые две
строки линейно независимы, а три зависимы 
 (2) кратности собственных чисел матриц А
и AT
одинаковы 
 (3) собственные вектора матриц А
и A-1
различны 
Номер 3
Выбрать верные утверждения
Ответ:
 (1) не существует матрицы подобной самой себе 
 (2) собственные вектора матриц А
и A-1
одинаковы 
 (3) если A
такая, что A2+2A+I=0
то A
-невырожденная 
Упражнение 12:
Номер 1
Выбрать верные утверждения
Ответ:
 (1) если l1...lk
различные собственные числа матрицы А
и х1...хk
- соответствующие им собственные вектора, то х1...хk
- линейно независимы 
 (2) собственные числа матриц А
и А-1
не совпадают 
 (3) собственные вектора матриц А
и А-1
совпадают 
Номер 2
Выбрать верные утверждения
Ответ:
 (1) пусть характеристическое уравнение (-1)
n n+...+det(A)=0
, имеет только вещественные
корни, то их количество равно n с учетом кратности 
 (2) алгебраическая и геометрическая кратности корней соппадают 
 (3) для матриц размера nxn ∃∈R:
det(A-(1-AT)=0
при n-нечетном 
Номер 3
Выбрать варианты, при которых det(A)=det(A)
.
Ответ:
 (1) размерность матрицы равна 1 
 (2) матрица вырожденная 
 (3) матрица диагональная 
 (4) матрица единичная 
 (5) =0