Линейная алгебра

Упражнение 1:

Номер 1

Найти det A, если  $А=\left( \begin{array}{ccc} 
1 & 2 & 1\\ 
2 & 4 & 1\\ 
3 & 0 & 2\\ 
\end{array} \right)$

Ответ:

(1) 4

(2) 5

(3) 6

(4) -4

(5) -5

(6) -6

Номер 2

Найти det A, если  $А=\left( \begin{array}{ccc} 
1 & 3 & 1\\ 
2 & 2 & 1\\ 
3 & 1 & 2\\ 
\end{array} \right)$

Ответ:

(1) 4

(2) 5

(3) 6

(4) -4

(5) -5

(6) -6

Номер 3

Найти det A, если  $А=\left( \begin{array}{ccc} 
1 & 3 & 1\\ 
2 & 2 & 0\\ 
3 & 1 & 0\\ 
\end{array} \right)$

Ответ:

(1) 4

(2) 5

(3) 6

(4) -4

(5) -5

(6) -6

Упражнение 2:

Номер 1

Какие из матриц являются минорами матрицы  $А=\left( \begin{array}{ccc} 
1 & 3 & 1\\ 
2 & 2 & 0\\ 
3 & 1 & 2\\ 
\end{array} \right)$

Ответ:

(1)

\left( \begin{array}{cc} 
1 & 3 \\ 
2 & 2 \\ 
\end{array} \right)

(2)

\left( \begin{array}{cc} 
3 & 1 \\ 
2 & 2 \\ 
\end{array} \right)

(3)

\left( \begin{array}{cc} 
1 & 3 & 1 \\ 
2 & 2 & 0 \\ 
\end{array} \right)

(4)

\left( \begin{array}{ccc} 
1 & 1 \\ 
2 & 0 \\
3 & 2 \\  
\end{array} \right)

(5)

\left( \begin{array}{cc} 
2 & 0 \\ 
1 & 2 \\ 
\end{array} \right)

(6)

\left( \begin{array}{cc} 
1 & 1 \\ 
3 & 2 \\ 
\end{array} \right)

Номер 2

Какие из матриц являются минорами матрицы  $А=\left( \begin{array}{ccc} 
1 & 1 & 3\\ 
1 & 2 & 4\\ 
1 & 3 & 5\\ 
\end{array} \right)$

Ответ:

(1)

\left( \begin{array}{cc} 
1 & 4 \\ 
1 & 5 \\ 
\end{array} \right)

(2)

-\left( \begin{array}{cc} 
1 & 4 \\ 
1 & 5 \\ 
\end{array} \right)

(3)

\left( \begin{array}{cc} 
1 & 2 & 4 \\ 
1 & 3 & 5 \\ 
\end{array} \right)

(4)

\left( \begin{array}{ccc} 
1 & 3 \\ 
2 & 4 \\
3 & 5 \\  
\end{array} \right)

(5)

\left( \begin{array}{cc} 
1 & 2 \\ 
1 & 3 \\ 
\end{array} \right)

(6)

\left( \begin{array}{cc} 
1 & 3 \\ 
2 & 4 \\ 
\end{array} \right)

Номер 3

Какие из матриц являются минорами матрицы  $А=\left( \begin{array}{ccc} 
1 & 3 & 1\\ 
2 & 4 & 1\\ 
3 & 5 & 2\\ 
\end{array} \right)$

Ответ:

(1)

\left( \begin{array}{cc} 
2 & 4 \\ 
3 & 5 \\ 
\end{array} \right)

(2)

\left( \begin{array}{cc} 
3 & 5 \\ 
2 & 4 \\ 
\end{array} \right)

(3)

\left( \begin{array}{cc} 
1 & 3 & 1 \\ 
2 & 4 & 1 \\ 
\end{array} \right)

(4)

\left( \begin{array}{ccc} 
1 & 1 \\ 
2 & 1 \\
3 & 2 \\  
\end{array} \right)

(5)

\left( \begin{array}{cc} 
4 & 1 \\ 
5 & 2 \\ 
\end{array} \right)

(6)

\left( \begin{array}{cc} 
3 & 1 \\ 
4 & 1 \\ 
\end{array} \right)

Упражнение 3:

Номер 1

Выбрать алгебраические дополнения для  $А=\left( \begin{array}{ccc} 
1 & 3 & 1\\ 
2 & 4 & 1\\ 
3 & 5 & 2\\ 
\end{array} \right)$

Ответ:

(1)

\left( \begin{array}{cc} 
2 & 4 \\ 
3 & 5 \\ 
\end{array} \right)

(2)

\left( \begin{array}{cc} 
3 & 5 \\ 
2 & 4 \\ 
\end{array} \right)

(3)

\left( \begin{array}{cc} 
2 & 1 \\ 
3 & 2 \\ 
\end{array} \right)

(4)

\left( \begin{array}{cc} 
4 & 1 \\ 
5 & 2 \\ 
\end{array} \right)

(5)

\left( \begin{array}{ccc} 
1 & 3 & 1\\ 
0 & 4 & 1\\
0 & 0 & 2\\  
\end{array} \right)

(6)

\left( \begin{array}{ccc} 
-1 & -3 & -1\\ 
-2 & -4 & -1\\
-3 & -5 & -2\\  
\end{array} \right)

Номер 2

Выбрать алгебраические дополнения для  $А=\left( \begin{array}{ccc} 
1 & 2 & 3\\ 
1 & 3 & 2\\ 
3 & 4 & 1\\ 
\end{array} \right)$

Ответ:

(1)

\left( \begin{array}{cc} 
1 & 2 \\ 
1 & 3 \\ 
\end{array} \right)

(2)

\left( \begin{array}{cc} 
2 & 3 \\ 
4 & 1 \\ 
\end{array} \right)

(3)

\left( \begin{array}{cc} 
2 & 1 \\ 
3 & 1 \\ 
\end{array} \right)

(4)

\left( \begin{array}{cc} 
1 & 3 \\ 
3 & 1 \\ 
\end{array} \right)

(5)

\left( \begin{array}{ccc} 
1 & 3 & 2\\ 
1 & 2 & 3\\
3 & 1 & 4\\  
\end{array} \right)

(6)

\left( \begin{array}{ccc} 
-1 & 3 & 2\\ 
-1 & 2 & 3\\
-3 & 1 & 4\\  
\end{array} \right)

Номер 3

Выбрать алгебраические дополнения для  $А=\left( \begin{array}{ccc} 
3 & 2 & 1\\ 
2 & 3 & 2\\ 
1 & 1 & 3\\ 
\end{array} \right)$

Ответ:

(1)

\left( \begin{array}{cc} 
3 & 2 \\ 
1 & 3 \\ 
\end{array} \right)

(2)

\left( \begin{array}{cc} 
3 & 2 \\ 
1 & 1 \\ 
\end{array} \right)

(3)

\left( \begin{array}{cc} 
3 & 1 \\ 
1 & 3 \\ 
\end{array} \right)

(4)

\left( \begin{array}{cc} 
4 & 1 \\ 
5 & 2 \\ 
\end{array} \right)

(5)

\left( \begin{array}{ccc} 
3 & 2 & 1\\ 
1 & 1 & 3\\
2 & 3 & 2\\  
\end{array} \right)

(6)

\left( \begin{array}{ccc} 
3 & 2 & 1\\ 
-1 & -1 & -3\\
-2 & -3 & -2\\  
\end{array} \right)

Упражнение 4:

Номер 1

Выбрать четные перестановки

Ответ:

(1) (1,2,3,4)

(2) (1,3,2,4)

(3) (1,4,3,2)

(4) (1,4,2,3)

(5) (3,2,4,1)

(6) (3,4,2,1)

Номер 2

Выбрать нечетные перестановки

Ответ:

(1) (1,2,4,3)

(2) (1,3,5,4)

(3) (4,1,3,2)

(4) (1,4,3,2)

(5) (3,4,2,1)

(6) (4,3,2,1)

Номер 3

Выбрать четные перестановки

Ответ:

(1) (2,1,3,4)

(2) (1,3,4,2)

(3) (1,3,4,2)

(4) (1,4,2,3)

(5) (3,2,4,1)

(6) (2,4,1,3)

Упражнение 5:

Номер 1

Выбрать правильные утверждения для квадратных матриц

Ответ:

(1) у любой матрицы можно вычислить детерминант

(2) если матрица невырожденная, то детерминант неравен нулю

(3) если детерминант равен нулю, то матрица вырожденная

(4) у любой матрицы det(A)=det(A^T)

(5) не существует матрицы, у которой det(A)=det(A)

(6) для любых матриц A и B верно det(AB)=det(A)det(B)

Номер 2

Выбрать правильные утверждения

Ответ:

(1) если матрица неквадратная, то ее детерминант отличен от нуля

(2) если матрица неквадратная, то ее детерминант равен нулю

(3) у любой матрицы можно вычислить детерминант

(4) для диагональной матрицы можно найти детерминант

(5) для любых матриц A и B верно det(AB)=det(A)det(B)

(6) детерминант вырожденной квадратной матрицы равен нулю

Номер 3

Выбрать правильные утверждения

Ответ:

(1) линейная комбинация строк, добавленная к матрице, ее детерминанта не меняет

(2) если детерминант матрицы равен нулю, то в матрице есть нулевой столбец

(3) если детерминант матрицы равен нулю, то в матрице есть нулевая строка

(4) если в матрице есть нулевой столбец, то детерминант матрицы равен нулю

(5) если в матрице есть нулевая строка, то детерминант матрицы равен нулю

(6)

Упражнение 6:

Номер 1

Выбрать правильные утверждения

Ответ:

(1) существует ненулевая матрица перестановка столбцов которой не изменяет ее детерминанта

(2) det(A)=ⁿdet(A), где n-размерность матрицы А

(3)

det\left( \begin{array}{ccccc} 
a_{11} & \ldots & a_{1i} + b_{1i} & \ldots & a_{1n}\\ 
&&\vdots \\ 
a_{n1} & \ldots &  a_{ni} + b_{ni} & \ldots &  a_{nn}\\ 
\end{array} \right)=det\left( \begin{array}{ccccc} 
a_{11} & \ldots &  a_{1i} & \ldots &  a_{1n}\\ 
& &\vdots \\ 
a_{n1} & \ldots &  a_{ni} & \ldots &  a_{nn}\\ 
\end{array} \right)+det\left( \begin{array}{ccccc} 
a_{11} & \ldots &  b_{1i} & \ldots &  a_{1n}\\ 
&& \vdots \\ 
a_{n1} & \ldots &  b_{ni} & \ldots &  a_{nn}\\ 
\end{array} \right)

Номер 2

Ответ:

(1) если после перстановки столбцов матрицы детерминант не изменился, то матрица - вырожденная

(2) если столбец матрицы умножить на число, то детерминант умножится на то же самое число

(3) det(-A)=-det(A)

Номер 3

Ответ:

(1) перстановка столбцов меняет знак детерминанта

(2) если det(-A)=-det(A) и det(A)≠0, то матрица нечетной размерности

(3) если матрица нечетной размерности, то det(-A)=-det(A)

Упражнение 7:

Номер 1

Найти собственные числа матрицы $\left( \begin{array}{cc} 
10 & 3\\ 
-5 & 2\\ 
\end{array} \right)$

Ответ:

(1) 4

(2) 5

(3) 6

(4) 7

(5) 8

(6) 9

Номер 2

Найти собственные числа матрицы $\left( \begin{array}{cc} 
5 & 2\\ 
1 & 4\\ 
\end{array} \right)$

Ответ:

(1) 1

(2) 2

(3) 3

(4) 4

(5) 5

(6) 6

Номер 3

Найти собственные числа матрицы $\left( \begin{array}{cc} 
3 & 1\\ 
2 & 4\\ 
\end{array} \right)$

Ответ:

(1) 1

(2) 2

(3) 3

(4) 4

(5) 5

(6) 6

Упражнение 8:

Номер 1

Какие из векторов являются собственными для характеристического
        числа =7 матрицы $\left( \begin{array}{cc} 
10 & 3\\ 
-5 & 2\\ 
\end{array} \right)$

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Номер 2

Какие из векторов являются собственными для характеристического
        числа =-2 матрицы $\left( \begin{array}{ccc} 
1 & -3 & 3\\ 
3 & -5 & 3\\ 
6 & -6 & 4\\ 
\end{array} \right)$

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Номер 3

Какие из векторов являются собственными для характеристического
        числа =4 матрицы
 $\left( \begin{array}{cc} 
1 \ -3 \  3\\ 
3 \ -5 \ 3\\ 
6 \ -6 \ 4\\ 
\end{array} \right)$

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Упражнение 9:

Номер 1

Выбрать верные высказывания

Ответ:

(1) не существует матрицы 3х3, у которой любые две строки линейно независимы, а три зависимы

(2) det(A-I)=0 равносильно существованию ненулевого решения для системы (A-I)х=0

(3) пусть характеристическое уравнение (-1)ⁿ ⁿ+...+det(A)=0, имеет только вещественные корни, то они различные и их количество равно n

(4) геометрическая кратность корня характеристического уравнения не превосходит алгебраическую кратность

Номер 2

Выбрать верные высказывания для матрицы А и многочлена
        p(A)=a₀I + a₁A +...+ a_mA^m

Ответ:

(1) собственные вектора А являются собственными векторами р(А)

(2) собственные числа р(А) являются собственными числами А

(3) собственные числа А являются собственными числами р(А)

(4) геометрическая кратность корней р(А) может быть больше геометрической кратности корней А

Номер 3

Пусть А - матрица 2х2 имеет два различных
        собственных числа и А²=-А, то эти числа равны

Ответ:

(1) -2

(2) -1

(3) 0

(4) 1

(5) 2

Упражнение 10:

Номер 1

Найти производную от det(A) по х, если  $А=\left( \begin{array}{ccc} 
x^2 & x^3 & x^4\\ 
x & x^2 & x^3\\ 
1 & x & x^2\\ 
\end{array} \right)$

Ответ:

(1) x⁴+3x³+2x²+x+1

(2) x⁴+2x²+1

(3) x⁴+2x²

(4) 3x³+x+1

(5) 3x³+x

(6) 0

Номер 2

Найти производную от det(A) по х, если  $А=\left( \begin{array}{ccc} 
x^2 & x & 1\\ 
2x & x & 1\\ 
1 & x & x^2\\ 
\end{array} \right)$

Ответ:

(1) x²(x+3)(x-5)

(2) x⁴-2x³-15x²

(3) 5x⁴+8x³-5x²

(4) -5x⁴+8x³+5x²

(5) x²(x-3)(x+5)

(6) x⁴-2x³-15x²

Номер 3

Найти производную от det(A) по х, если  $А=\left( \begin{array}{ccc} 
1 & x & x^2\\ 
x^2 & 1 & x\\ 
x & x^2 & 1\\ 
\end{array} \right)$

Ответ:

(1) x⁵-2x²

(2) 6x²(x³-1)

(3) x³(x²-2)

(4) 6x²(x³+1)

(5) 6x⁵+6x²

(6) 6x⁵-6x²

Упражнение 11:

Номер 1

Пусть матрицы А и В такие, что их
        элементы связваны соотношением а_ij≥b_ij≥0, то

Ответ:

(1) det(A)≥det(B)

(2) det(B)≥det(A)

(3) det(A+B)≥det(B)

(4) det(A)≥det(A-B)

Номер 2

Выбрать верные утверждения

Ответ:

(1) существует матрица 3х3, у которой любые две строки линейно независимы, а три зависимы

(2) кратности собственных чисел матриц А и A^T одинаковы

(3) собственные вектора матриц А и A^-1 различны

Номер 3

Выбрать верные утверждения

Ответ:

(1) не существует матрицы подобной самой себе

(2) собственные вектора матриц А и A^-1 одинаковы

(3) если A такая, что A²+2A+I=0 то A-невырожденная

Упражнение 12:

Номер 1

Выбрать верные утверждения

Ответ:

(1) если l₁...l_k различные собственные числа матрицы А и х₁...х_k - соответствующие им собственные вектора, то х₁...х_k - линейно независимы

(2) собственные числа матриц А и А^-1 не совпадают

(3) собственные вектора матриц А и А^-1 совпадают

Номер 2

Выбрать верные утверждения

Ответ:

(1) пусть характеристическое уравнение (-1)ⁿ ⁿ+...+det(A)=0, имеет только вещественные корни, то их количество равно n с учетом кратности

(2) алгебраическая и геометрическая кратности корней соппадают

(3) для матриц размера

nxn ∃∈R:
        det(A-(1-A^T)=0

при n-нечетном

Номер 3

Выбрать варианты, при которых det(A)=det(A).

Ответ:

(1) размерность матрицы равна 1

(2) матрица вырожденная

(3) матрица диагональная

(4) матрица единичная

(5) =0

Линейная алгебра - тест 6