Линейная алгебра

Упражнение 1:

Номер 1

Ранг матрицы  $$\left( 
\begin{array}{cccc}
25 & 31 & 17 & 43 \\ 
75 & 94 & 53 & 132 \\ 
75 & 94 & 54 & 134 \\ 
25 & 32 & 20 & 48%
\end{array}%
\right) $$  будет равен:

Ответ:

(1) 0

(2) 3

(3) 5

Номер 2

Ранг матрицы  $$\left( 
\begin{array}{ccccc}
47 & -67 & 35 & 201 & 155 \\ 
26 & 98 & 23 & -294 & 86 \\ 
16 & -428 & 1 & 1284 & 52%
\end{array}%
\right) $$  будет равен:

Ответ:

(1) 2

(2) 1

(3) 4

Номер 3

Ранг матрицы  $$\left( 
\begin{array}{ccccc}
24 & 19 & 36 & 72 & -38 \\ 
49 & 40 & 73 & 147 & -80 \\ 
73 & 59 & 98 & 219 & -118 \\ 
47 & 36 & 71 & 141 & -72%
\end{array}%
\right) $$  будет равен:

Ответ:

(1) 5

(2) 3

(3) 6

Упражнение 2:

Номер 1

Какие матрицы, из ниже перечисленных, имеют ранг = 2?

Ответ:

(1)

$\left( 
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 1 \\ 
3 & -1 & 1 \\ 
2 & 4 & 2%
\end{array}%
\right) $

\end{document}

(2)

$\left( 
\begin{array}{ccccc}
2 & -1 & 2 & -2 & 3 \\ 
6 & -3 & 7 & -4 & 8 \\ 
2 & -1 & 1 & -4 & 4%
\end{array}%
\right) $

(3)

$\left( 
\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & 2 & -3 & 0 \\ 
2 & -1 & 3 & 0 & 4 \\ 
2 & 0 & 5 & -3 & 4%
\end{array}%
\right) $

Номер 2

Какие матрицы, из ниже перечисленных, имеют ранг = 3?

Ответ:

(1)

$\left( 
\begin{array}{ccccc}
17 & -28 & 45 & 11 & 39 \\ 
24 & -37 & 61 & 13 & 50 \\ 
25 & -7 & 32 & -18 & -11 \\ 
31 & 12 & 19 & -43 & -55 \\ 
42 & 13 & 29 & -55 & -68%
\end{array}%
\right) $

(2)

$\left( 
\begin{array}{cccc}
25 & 31 & 17 & 43 \\ 
75 & 94 & 53 & 132 \\ 
75 & 94 & 54 & 134 \\ 
25 & 32 & 20 & 48%
\end{array}%
\right) $

(3)

$\left( 
\begin{array}{ccccc}
24 & 19 & 36 & 72 & -38 \\ 
49 & 40 & 73 & 147 & -80 \\ 
73 & 59 & 98 & 219 & -118 \\ 
47 & 36 & 71 & 141 & -72%
\end{array}%
\right) $

Номер 3

Какие матрицы, из ниже перечисленных, не имеют ранг = 1?

Ответ:

(1)

$\left( 
\begin{array}{ccccc}
2 & -4 & 4 & 2 & 12 \\ 
0 & 2 & -16 & 4 & -2 \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) $

(2)

$\left( 
\begin{array}{cccc}
8 & -2 & 64 & -12 \\ 
0 & 0 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) $

(3)

$\left( 
\begin{array}{ccc}
3 & 5 & 7 \\ 
0 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ 
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) $

Упражнение 3:

Номер 1

Какие, из следующих отображений в соответствующих векторных пространствах являются линейными операторами?

Ответ:

(1)

(a - фиксированный вектор)

(2)

(a - фиксированный вектор)

(3)

(a - фиксированный вектор)

(4)

(V - евклидово пространство, a,b - фиксированные векторы)

(5)

(V - евклидово пространство, a - фиксированные векторы)

Номер 2

Какие, из следующих отображений в соответствующих векторных пространствах являются линейными операторами?

Ответ:

(1)

(a,b - фиксированные числа)

(2)

(3)

Номер 3

Какие, из следующих отображений в соответствующих векторных пространствах являются линейными операторами?

Ответ:

(1)

(2)

(x_{1},\ x_{2},\ x_{3})\ \rightarrow \ (x_{1}+3x_{3},\ x_{2}^{3},\
x_{1}+x_{3}\ )

(3)

Упражнение 4:

Номер 1

Какую матрицу будет иметь оператор  $\left( x_{1},\ x_{2},\ x_{3}\right) \ \rightarrow \ \left( x_{1},\ x_{1}\
+\ 2x_{2},\ x_{2}\ +\ 3x_{3}\right)$  в пространстве  в базисе из единственных векторов?

Ответ:

(1)

\left( 
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & -2 \\ 
0 & 0 & 0 \\ 
-2 & 0 & 4%
\end{array}%
\right)

(2)

\left( 
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 1 \\ 
1 & 0 & 0 \\ 
0 & 1 & 0%
\end{array}%
\right)

(3)

\left( 
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\ 
1 & 2 & 0 \\ 
0 & 1 & 3%
\end{array}%
\right)

Номер 2

Какую матрицу будет иметь оператор  $X$\ \rightarrow \ \left( 
\begin{array}{cc}
a & b \\ 
c & d%
\end{array}%
\right) \ X$  в пространстве  в базисе из матричных единиц?

Ответ:

(1)

\left( 
\begin{array}{cccc}
a & 0 & b & 0 \\ 
0 & a & 0 & b \\ 
c & 0 & d & 0 \\ 
0 & c & 0 & d%
\end{array}%
\right)

(2)

\left( 
\begin{array}{cccc}
a & c & 0 & 0 \\ 
b & d & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & a & c \\ 
0 & 0 & b & d%
\end{array}%
\right)

(3)

\left( 
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & 1 & 0 \\ 
0 & 1 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right)

Номер 3

Какую матрицу будет иметь оператор дифференцирования в пространстве  в базисе ?

Ответ:

(1)

\left( 
\begin{array}{cccccc}
0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 
n & 0 & 0 & .. & 0 & 0 \\ 
0 & n-1 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & n-2 & ... & 0 & 0 \\ 
... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 
0 & 0 & 0 & ... & 1 & 0%
\end{array}%
\right)

(2)

\left( 
\begin{array}{cccccc}
0 & 1 & 0 & 0 & ... & 0 \\ 
0 & 0 & 2 & 0 & ... & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & 3 & ... & 0 \\ 
... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & ... & n \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0%
\end{array}%
\right)

(3)

\left( 
\begin{array}{cccccc}
0 & 1 & 0 & 0 & ... & 0 \\ 
0 & 0 & 1 & 0 & ... & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & 1 & ... & 0 \\ 
... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & ... & 1 \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0%
\end{array}%
\right)

Упражнение 5:

Номер 1

Матрица  $A\ =\ $\left( 
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\ 
0 & 1 & 0 \\ 
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right)$  будет иметь оператор:

Ответ:

(1) поворота плоскости на угол math

в произвольном ортонормированном базисе

(2) проектирования трехмерного пространства на координптную ось вектора math

параллельно координатной плоскости векторов math

и

в базисе

(3)

в пространстве math

в базисе из матричных единиц

Номер 2

Матрицу  $A\ =\ \left( 
\begin{array}{cccc}
a & c & 0 & 0 \\ 
b & d & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & a & c \\ 
0 & 0 & b & d%
\end{array}%
\right)$  будет иметь оператор:

Ответ:

(1)

(A, B - фиксированные матрицы) в пространстве math

в базисе, состоящем из матричных единиц

(2) дифференцирования в пространстве math

в базисе

(3)

X\ \rightarrow \ X\left( 
\begin{array}{cc}
a & b \\ 
c & d%
\end{array}%
\right)

в пространстве math

в базисе из матричных единиц

Номер 3

Матрицы  $\left( 
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 1 \\ 
1 & 0 & 0 \\ 
0 & 1 & 0%
\end{array}%
\right)$  и  $\left( 
\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\ 
0 & 0 & 1 \\ 
1 & 0 & 0%
\end{array}%
\right)$  будет иметь оператор:

Ответ:

(1) поворота трехмерного пространства на угол math

вокруг прямой, заданной в прямоугольной системе координат уравнениями math

, в базисе из единичных векторов осей координат

(2)

(А, В - фиксированные матрицы в пространстве math

) в базисе из матричных единиц

(3) дифференцирования в пространстве math

в базисе

Упражнение 6:

Номер 1

Пусть линейный оператор в пространстве  в базисе  имеет матрицу  $\left( 
\begin{array}{cccc}
0 & 1 & 2 & 3 \\ 
5 & 4 & 0 & -1 \\ 
3 & 2 & 0 & 3 \\ 
6 & 1 & -1 & 7%
\end{array}%
\right)$  Какая будет матрица этого оператора в базисе ?

Ответ:

(1)

\left( 
\begin{array}{cccc}
-5 & -8 & -6 & -2 \\ 
2 & 4 & 4 & 0 \\ 
-3 & -2 & -1 & -5 \\ 
6 & 7 & 6 & 13%
\end{array}%
\right)

(2)

\left( 
\begin{array}{cccc}
4 & 5 & 0 & -1 \\ 
1 & 0 & 2 & 3 \\ 
2 & 3 & 0 & 3 \\ 
1 & 6 & -1 & 7%
\end{array}%
\right)

(3)

\left( 
\begin{array}{cccc}
4 & 5 & 0 & 1 \\ 
-1 & 0 & 2 & 3 \\ 
2 & 3 & 0 & 3 \\ 
-1 & 6 & 1 & 7%
\end{array}%
\right)

Номер 2

Пусть линейный оператор в пространстве  имеет в базисе  матрицу  $\left( 
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 1 \\ 
0 & 1 & 0 \\ 
1 & 0 & 0%
\end{array}%
\right)$  Какая будет его матрица в базисе ?

Ответ:

(1)

\left( 
\begin{array}{ccc}
-\frac{1}{3} & \ \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\ 
\frac{2}{3} & \ \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ 
\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3}%
\end{array}%
\right)

(2)

\left( 
\begin{array}{ccc}
3 & 2 & 1 \\ 
0 & \ 3 & 2 \\ 
2 & 0 & 3%
\end{array}%
\right)

(3)

\left( 
\begin{array}{ccc}
\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\ 
\frac{2}{3} & \ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ 
\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3}%
\end{array}%
\right)

Номер 3

Пусть линейный оператор в пространстве  имеет в базисе  $\left( \left( 8,\ -6,\ 7\right) ,\ \left( -16,\ 7,\ -13\right) ,\ \left(
9,\ -3,\ 7\right) \right)$  матрицу  $\left( 
\begin{array}{ccc}
1 & -18 & 15 \\ 
-1 & -22 & 20 \\ 
1 & -25 & 22%
\end{array}%
\right)$  Какая будет его матрица в базисе  $\left( \left( 1,\ -2,\ 1\right) ,\ \left( 3,\ -1,\ 2\right) ,\ \left( 2,\
1,\ 2\right) \right)$ ?

Ответ:

(1)

\left( 
\begin{array}{ccc}
\frac{1}{3} & \frac{1}{2} & 1 \\ 
\frac{1}{2} & 1 & 1 \\ 
\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 1%
\end{array}%
\right)

(2)

\left( 
\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 1 \\ 
3 & -1 & 2 \\ 
2 & 1 & 2%
\end{array}%
\right)

(3)

\left( 
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 2 \\ 
3 & -1 & -2 \\ 
2 & -3 & 1%
\end{array}%
\right)

Упражнение 7:

Номер 1

Какие подпространства, из перечисленных ниже, являются инвариантными подпространствами для оператора дифференцирования в пространстве ?

Ответ:

(1)

и

(2)

(3)

Номер 2

Какие подпространства, из перечисленных ниже, являются инвариантными подпространствами для линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу, состоящую из одной жордановой клетки?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Номер 3

Какие подпространства, из перечисленных ниже, не являются инвариантными подпространствами для оператора дифференцирования в пространстве ?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

Упражнение 8:

Номер 1

Определите подпространства в трехвекторном пространстве, инвариантные относительно линейного оператора с матрицей  $\left( 
\begin{array}{ccc}
4 & -2 & 2 \\ 
2 & 0 & 2 \\ 
-1 & 1 & 1%
\end{array}%
\right)$

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)

U=\left\langle \left( 1,\ 1,\ 0\right) ,\ \left( 1,\ 0,\ -1\right)
\right\rangle

(5)

Номер 2

Определите, какие подпространства в  и , инвариантные относительно оператора :

Ответ:

(1)

(2) линейная оболочка любого множества одночленов степени не выше math

(3)

U=\left\langle \left( 1,\ 1,\ 0\right) ,\ \left( 1,\ 0,\ -1\right)
\right\rangle

(4)

R\left[ x\right] _{k},\ \left( k=1,...,n\right) ,\ \ C\left[ x\right] _{m}\
\ \ (m=1,...,n)

Номер 3

Определите, какие подпространства в  и , инвариантные относительно оператора :

Ответ:

(1)

(2) линейная оболочка любого множества одночленов степени не выше math

(3)

U=\left\langle \left( 1,\ 1,\ 0\right) ,\ \left( 1,\ 0,\ -1\right)
\right\rangle

(4)

R\left[ x\right] _{k},\ \left( k=1,...,n\right) ,\ \ C\left[ x\right] _{m}\
\ \ (m=1,...,n)

Упражнение 9:

Номер 1

Какие имеет собственные векторы и значения оператор дифференцирования в пространстве ?

Ответ:

(1) многочлены нулевой степени

(2) одночлены

(3)

Номер 2

Какие имеет собственные векторы и значения оператор  в пространстве ?

Ответ:

(1)

(2) одночлены

(3)

Номер 3

Какие имеет собственные векторы и значения оператор  в пространстве

Ответ:

(1)

(2) одночлены

(3)

Упражнение 10:

Номер 1

Пусть  - линейное преобразование пространства . Линейное подпространство  называется инвариантным относительно , если:

Ответ:

(1) для любого math

(2) для любого math

и

(3) для каждого вектора X из math

вектор Ax также принадлежит math

Номер 2

Вектор , удовлетворяющий соотношению , называется:

Ответ:

(1) каноническим вектором

(2) собственным вектором

(3) собственным значением

Номер 3

Подпространство  линейного пространства  называется инвариантным относительно оператора , действующего в пространстве , если:

Ответ:

(1)

(2)

(3) для любого math

Упражнение 11:

Номер 1

Если , то . Приведенное выше доказательство, доказывает, что:

Ответ:

(1) если оператор math

имеет собственное значение math

, то одно из чисел math

и

является собственным значением оператора math

(2) в пространстве math

линейный оператор math

имеет множество собственных значений math

(3) если оператор math

невырожденный, то операторы math

и

имеют одни и те же собственные векторы

Номер 2

Из равенства   следует, что , где k - степень . Приведенное выше доказательство, доказывает, что:

Ответ:

(1) если оператор math

имеет собственное значение math

, то одно из чисел math

и

является собственным значением оператора math

(2) в пространстве math

линейный оператор math

имеет множество собственных значений math

(3) если оператор А невырожденный, то операторы А и math

имеют одни и те же собственные векторы

Номер 3

Если , то  Приведенное выше доказательство, доказывает, что:

Ответ:

(1) если оператор math

имеет собственное значение math

, то одно из чисел math

и

является собственным значением оператора А

(2) в пространстве math

линейный оператор math

имеет множество собственных значений math

(3) если оператор math

невырожденный, то операторы math

и

имеют одни и те же собственные векторы

Упражнение 12:

Номер 1

Многочленной матрицей называется:

Ответ:

(1) матрица, элементами которой являются многочлены переменной math

(2) матрица math

n-го порядка, элементы которой вычисляются по формуле: math

(3)

- матрица

, если

Номер 2

Многочлены  $e_{1}(\lambda )=d_{1}(\lambda ),\ e_{2}(\lambda )=\frac{d_{2}(\lambda )}{%
d_{1}(\lambda )},\ ...,\ e_{r}(\lambda )=\frac{d_{r}(\lambda )}{%
d_{r-1}(\lambda )}$$  называются:

Ответ:

(1) инвариантными множителями math

- матрицы

(2) рангом math

- матрицы

(3) характеристическим многочленом матрицы А

Номер 3

Матрица  называется:

Ответ:

(1) характеристической для math

(2) собственным вектором матрицы math

(3) собственным значением матрицы math

Линейная алгебра - тест 8