Главная / Математика /
Линейная алгебра / Тест 8
Линейная алгебра - тест 8
Упражнение 1:
Номер 1
Ранг матрицы будет равен:
Ответ:
 (1) 0 
 (2) 3 
 (3) 5 
Номер 2
Ранг матрицы будет равен:
Ответ:
 (1) 2 
 (2) 1 
 (3) 4 
Номер 3
Ранг матрицы будет равен:
Ответ:
 (1) 5 
 (2) 3 
 (3) 6 
Упражнение 2:
Номер 1
Какие матрицы, из ниже перечисленных, имеют ранг = 2?
Ответ:
 (1)  
 (2)  
 (3)  
Номер 2
Какие матрицы, из ниже перечисленных, имеют ранг = 3?
Ответ:
 (1)  
 (2)  
 (3)  
Номер 3
Какие матрицы, из ниже перечисленных, не имеют ранг = 1?
Ответ:
 (1)  
 (2)  
 (3)  
Упражнение 3:
Номер 1
Какие, из следующих отображений в соответствующих векторных пространствах являются линейными операторами?
Ответ:
 
(1) (a - фиксированный вектор) 
 
(2) (a - фиксированный вектор) 
 
(3) (a - фиксированный вектор) 
 
(4) (V - евклидово пространство, a,b - фиксированные векторы) 
 
(5) (V - евклидово пространство, a - фиксированные векторы) 
Номер 2
Какие, из следующих отображений в соответствующих векторных пространствах являются линейными операторами?
Ответ:
 
(1) (a,b - фиксированные числа) 
 
(2)  
 
(3)  
Номер 3
Какие, из следующих отображений в соответствующих векторных пространствах являются линейными операторами?
Ответ:
 
(1)  
 (2)  
 
(3)  
Упражнение 4:
Номер 1
Какую матрицу будет иметь оператор в пространстве в базисе из единственных векторов?
Ответ:
 (1)  
 (2)  
 (3)  
Номер 2
Какую матрицу будет иметь оператор в пространстве в базисе из матричных единиц?
Ответ:
 (1)  
 (2)  
 (3)  
Номер 3
Какую матрицу будет иметь оператор дифференцирования в пространстве в базисе ?
Ответ:
 (1)  
 (2)  
 (3)  
Упражнение 5:
Номер 1
Матрица будет иметь оператор:
Ответ:
 
(1) поворота плоскости на угол
в произвольном ортонормированном базисе 
 
(2) проектирования трехмерного пространства на координптную ось вектора
параллельно координатной плоскости векторов
и
в базисе
 
 
(3) в пространстве
в базисе из матричных единиц 
Номер 2
Матрицу будет иметь оператор:
Ответ:
 
(1) (A, B - фиксированные матрицы) в пространстве
в базисе, состоящем из матричных единиц 
 
(2) дифференцирования в пространстве
в базисе
 
 
(3) в пространстве
в базисе из матричных единиц 
Номер 3
Матрицы и будет иметь оператор:
Ответ:
 
(1) поворота трехмерного пространства на угол
вокруг прямой, заданной в прямоугольной системе координат уравнениями
, в базисе из единичных векторов осей координат 
 
(2) (А, В - фиксированные матрицы в пространстве
) в базисе из матричных единиц 
 
(3) дифференцирования в пространстве
в базисе
 
Упражнение 6:
Номер 1
Пусть линейный оператор в пространстве в базисе имеет матрицу Какая будет матрица этого оператора в базисе ?
Ответ:
 (1)  
 (2)  
 (3)  
Номер 2
Пусть линейный оператор в пространстве имеет в базисе матрицу Какая будет его матрица в базисе ?
Ответ:
 (1)  
 (2)  
 (3)  
Номер 3
Пусть линейный оператор в пространстве имеет в базисе матрицу Какая будет его матрица в базисе ?
Ответ:
 (1)  
 (2)  
 (3)  
Упражнение 7:
Номер 1
Какие подпространства, из перечисленных ниже, являются инвариантными подпространствами для оператора дифференцирования в пространстве ?
Ответ:
 
(1) и
 
 
(2)  
 
(3)  
Номер 2
Какие подпространства, из перечисленных ниже, являются инвариантными подпространствами для линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу, состоящую из одной жордановой клетки?
Ответ:
 
(1)  
 
(2)  
 
(3)  
Номер 3
Какие подпространства, из перечисленных ниже, не являются инвариантными подпространствами для оператора дифференцирования в пространстве ?
Ответ:
 
(1)  
 
(2)  
 
(3)  
Упражнение 8:
Номер 1
Определите подпространства в трехвекторном пространстве, инвариантные относительно линейного оператора с матрицей
Ответ:
 
(1)  
 
(2)  
 
(3)  
 (4)  
 
(5)  
Номер 2
Определите, какие подпространства в и , инвариантные относительно оператора :
Ответ:
 
(1)  
 
(2) линейная оболочка любого множества одночленов степени не выше
 
 (3)  
 (4)  
Номер 3
Определите, какие подпространства в и , инвариантные относительно оператора :
Ответ:
 
(1)  
 
(2) линейная оболочка любого множества одночленов степени не выше
 
 (3)  
 (4)  
Упражнение 9:
Номер 1
Какие имеет собственные векторы и значения оператор дифференцирования в пространстве ?
Ответ:
 (1) многочлены нулевой степени 
 (2) одночлены 
 
(3)  
Номер 2
Какие имеет собственные векторы и значения оператор в пространстве ?
Ответ:
 
(1)  
 (2) одночлены 
 
(3)  
Номер 3
Какие имеет собственные векторы и значения оператор в пространстве
Ответ:
 
(1)  
 (2) одночлены 
 
(3)  
Упражнение 10:
Номер 1
Пусть - линейное преобразование пространства . Линейное подпространство называется инвариантным относительно , если:
Ответ:
 
(1) для любого
 
 
(2) для любого
и
 
 
(3) для каждого вектора X из
вектор Ax также принадлежит
 
Номер 2
Вектор , удовлетворяющий соотношению , называется:
Ответ:
 (1) каноническим вектором 
 (2) собственным вектором 
 (3) собственным значением 
Номер 3
Подпространство линейного пространства называется инвариантным относительно оператора , действующего в пространстве , если:
Ответ:
 
(1)  
 
(2)  
 
(3) для любого
 
Упражнение 11:
Номер 1
Если , то . Приведенное выше доказательство, доказывает, что:
Ответ:
 
(1) если оператор
имеет собственное значение
, то одно из чисел
и
является собственным значением оператора
 
 
(2) в пространстве
линейный оператор
имеет множество собственных значений
 
 
(3) если оператор
невырожденный, то операторы
и
имеют одни и те же собственные векторы 
Номер 2
Из равенства следует, что , где k - степень . Приведенное выше доказательство, доказывает, что:
Ответ:
 
(1) если оператор
имеет собственное значение
, то одно из чисел
и
является собственным значением оператора
 
 
(2) в пространстве
линейный оператор
имеет множество собственных значений
 
 
(3) если оператор А невырожденный, то операторы А и
имеют одни и те же собственные векторы 
Номер 3
Если , то Приведенное выше доказательство, доказывает, что:
Ответ:
 
(1) если оператор
имеет собственное значение
, то одно из чисел
и
является собственным значением оператора А 
 
(2) в пространстве
линейный оператор
имеет множество собственных значений
 
 
(3) если оператор
невырожденный, то операторы
и
имеют одни и те же собственные векторы 
Упражнение 12:
Номер 1
Многочленной матрицей называется:
Ответ:
 
(1) матрица, элементами которой являются многочлены переменной
 
 
(2) матрица
n-го порядка, элементы которой вычисляются по формуле:
 
 
(3) - матрица
, если
 
Номер 2
Многочлены называются:
Ответ:
 
(1) инвариантными множителями
- матрицы
 
 
(2) рангом
- матрицы 
 (3) характеристическим многочленом матрицы А 
Номер 3
Матрица называется:
Ответ:
 
(1) характеристической для
 
 
(2) собственным вектором матрицы
 
 
(3) собственным значением матрицы