Квантовые вычисления

Упражнение 1:

Номер 1

Какие утверждения справедливы для базисных векторов векторного пространства ^N:

Ответ:

(1) Число базисных векторов равно 2^N.

(2) Число базисных векторов равно N.

(3) Базисные вектора имеют длину 1.

(4) Базисные вектора могут быть произвольной длины.

Номер 2

Какие утверждения справедливы для векторов ортонормального базиса векторного пространства ^N:

Ответ:

(1) Каждый базисный вектор начинается в начале координат и расположен вдоль одной из осей системы координат векторного пространства ^N.

(2) Все координаты базисного вектора равны 1.

(3) Только одна координата базисного вектора равна 1, а остальные равны 0.

(4) Каждый вектор векторного пространства ^Nможет быть представлен как суперпозиция базисных векторов: v = a₁e₁ + a₂e₂ + … + a_Ne_N.

(5) Каждый вектор векторного пространства ^Nзадается N-кой действительных чисел, представляющих координаты вектора.

Номер 3

Укажите корректные примеры векторного пространства ³:

Ответ:

(1) Классическое трехмерное пространство с системой координат XYZ.

(2) Множество полиномов 3-й степени.

(3) Множество полиномов 2-й степени.

(4) Множество 3-кубитов.

Упражнение 2:

Номер 1

Что, в контексте данной книги, понимается под трансформацией T векторного пространства ^N:

Ответ:

(1) Преобразование T, которое каждому вектору v из ^N ставит в соответствие новый вектор u из ^N, такой что u = T(v).

(2) Преобразование T, которое на единицу понижает размерность пространства ^N.

(3) Преобразование T, которое каждому вектору v из ^N ставит в соответствие новый вектор u из ^M, такой что u = T(v), где N≠M.

Номер 2

Какие свойства характеризуют линейную трансформацию T векторного пространства ^N:

Ответ:

(1) Трансформация суммы векторов равна сумме трансформаций этих векторов: T(u + v) = T(u) + T(v).

(2) Трансформация произведения векторов равна произведению трансформаций этих векторов: T(u * v) = T(u) * T(v).

(3) Трансформация произведения числа на вектор равна произведению числа на вектор: T(c* u) = c * T(u).

(4) Трансформация вектора T(v) полностью определяется трансформациями базисных векторов.

Номер 3

Какие из указанных трансформаций являются линейными:

Ответ:

(1) Поворот вектора на заданный угол против часовой стрелки.

(2) Поворот вектора на заданный угол по часовой стрелке.

(3) Проекция вектора на одну из осей координат.

(4) Растяжение вектора так, что длина нового вектора равна квадрату длины исходного вектора.

(5) Отображение плоскости относительно прямой, проходящей через начало координат.

Упражнение 3:

Номер 1

Вектор с координатами (2, 5) повернули на 45° по часовой стрелке. Используя свойства линейной трансформации, вычислите координаты нового вектора с точностью до 3-х цифр после запятой:

Ответ:

(1) (0.768, 5.330)

(2) (-2.121, 4.950)

(3) (5, -2)

(4) (-0.768, 5.330)

(5) (4.950, 2.121)

Номер 2

Вектор с координатами (2, 5) повернули на 45° против часовой стрелки. Используя свойства линейной трансформации, вычислите координаты нового вектора с точностью до 3-х цифр после запятой:

Ответ:

(1) (0.768, 5.330)

(2) (-2.121, 4.950)

(3) (5, -2)

(4) (-0.768, 5.330)

(5) (5.330, - 0.768)

Номер 3

Вектор с координатами (2, 5) повернули на 30° против часовой стрелки. Используя свойства линейной трансформации, вычислите координаты нового вектора с точностью до 3-х цифр после запятой:

Ответ:

(1) (0.768, 5.330)

(2) (-2, 5)

(3) (5, -2)

(4) (-0.768, 5.330)

(5) (5.330, - 0.768)

Упражнение 4:

Номер 1

Отметьте корректные высказывания:

Ответ:

(1) Всякий квантовый алгоритм представляет линейную трансформацию в пространстве n-кубитов.

(2) Если Алиса и Боб получают сообщение в виде последовательности фотонов, сформированных в виде запутанной пары, то, используя линейную трансформацию — поворот фильтра на некоторый угол, они и после трансформации сохранят состояние запутанности и результаты их измерений будут совпадать.

(3) Для полиномов не существует преобразования, представляющего линейную трансформацию.

Номер 2

Отметьте корректные высказывания:

Ответ:

(1) Линейная трансформация — поворот фильтра на некоторый угол - запутанное состояние преобразует в незапутанное.

(2) Линейная трансформация — поворот фильтра на некоторый угол - незапутанное состояние преобразует в запутанное.

(3) Поскольку квантовый алгоритм представляет линейную трансформацию, то за одно вычисление возможно получить состояние, представляющее суперпозицию экспоненциально большого числа вычислений значений функции f(k), что невозможно промоделировать на классическом компьютере.

Номер 3

Отметьте корректные высказывания:

Ответ:

(1) Взятие производной полинома представляет линейную трансформацию в векторном пространстве полиномов.

(2) Алиса и Боб, используя линейную трансформацию, могут обнаружить атаку на передаваемое им сообщение при условии, что передаваемые им фотоны находятся в незапутанном состоянии.

(3) Алиса и Боб, используя линейную трансформацию, могут обнаружить атаку на передаваемое им сообщение при условии, что передаваемые им фотоны находятся в запутанном состоянии.

Упражнение 5:

Номер 1

Какие утверждения справедливы для понятия «скалярное произведение векторов:

Ответ:

(1) Скалярное произведение векторов u•v – это вектор, координаты которого являются произведениями соответствующих координат векторов u и v.

(2) Скалярное произведение векторов u•v – это число, равное сумме произведений соответствующих координат векторов uи v.

(3) Скалярное произведение векторов u•v всегда положительно.

(4) Скалярное произведение векторов u•u всегда положительно.

Номер 2

Какими свойствами обладает скалярное произведение:

Ответ:

(1) Скалярное произведение симметрично: u • v = v •u

(2) Скалярное произведение билинейно: u • (v + w) = u • v + u • w = (v + w) • u

(3) Скалярное произведение трех векторов равно сумме скалярных произведений: u • (v•w) = u • v + u • w

(4) Длина вектора u равна корню квадратному из скалярного произведения: |u| = u •u

Номер 3

Какие высказывания верны:

Ответ:

(1) Скалярное произведение векторов равно произведению длин этих векторов.

(2) Скалярное произведение векторов равно произведению длин этих векторов на синус угла между ними.

(3) Скалярное произведение векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

(4) Два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда скалярное произведение этих векторов равно нулю.

Упражнение 6:

Номер 1

Какие утверждения справедливы:

Ответ:

(1) Матрицей размера N * M называется набор чисел, содержащий N строк и M столбцов.

(2) Матрицей линейной трансформации T пространства ^N называется матрица, столбцы которой — трансформации базисных векторов: T(e₁), T(e₂), …, T(e_N).

(3) Матрица линейной трансформации всегда является квадратной матрицей.

(4) Матрица линейной трансформации может быть прямоугольной матрицей.

Номер 2

Какие утверждения справедливы:

Ответ:

(1) Результатом умножения матрицы линейной трансформации на вектор является матрица, полученная умножением элементов k-й строки матрицы на k-й элемент вектора.

(2) Результатом умножения матрицы линейной трансформации на вектор является вектор, k-й элемент которого представляет скалярное произведение k-й строки матрицы на вектор.

(3) Результат применения линейной трансформации T к вектору u задается умножением матрицы трансформации M_T на вектор u: T(u) = M_Tu

(4) Матрица композиции двух линейных трансформаций TºS задается умножением соответствующих матриц M_TM_S.

(5) Матрица композиции двух линейных трансформаций TºS задается умножением соответствующих матриц MsM_T.

Номер 3

Какие утверждения справедливы:

Ответ:

(1) Результатом умножения матрицы A на матрицу B является матрица, элемент которой с индексами i, k является скалярным произведением i-й строки матрицы A на k-й столбец матрицы B.

(2) Произведение ненулевых матриц — всегда ненулевая матрица.

(3) Произведение матриц коммутативно AB = BA.

(4) Произведение матриц ассоциативно A(BС) = (AB)C.

Упражнение 7:

Номер 1

Линейная трансформация T – отображение плоскости относительно прямой y = 4x. Вычислите с точностью до 3-х знаков после запятой элементы первой строки матрицы трансформации T. В ответе укажите сумму элементов этой строки:

Ответ:

(1) 1.366

(2) 0.366

(3) 0.294

Номер 2

Линейная трансформация T – поворот на 30° по часовой стрелке. Вычислите с точностью до 3-х знаков после запятой элементы первой строки матрицы трансформации T. В ответе укажите сумму элементов этой строки:

Ответ:

(1) 1.366

(2) 0.366

(3) 0.294

Номер 3

Линейная трансформация T – поворот на 30° против часовой стрелки. Вычислите с точностью до 3-х знаков после запятой элементы первой строки матрицы трансформации T. В ответе укажите сумму элементов этой строки:

Ответ:

(1) 1.366

(2) 0.366

(3) 0.294

Упражнение 8:

Номер 1

Укажите примеры линейной ортогональной трансформации:

Ответ:

(1) В векторном пространстве ² поворот на угол α.

(2) Растяжение векторов с заданным коэффициентом k > 1.

(3) В векторном пространстве ³поворот на угол α вокруг некоторой оси, проходящей через начало координат.

(4) Отражение в ² относительно прямой, проходящей через начало координат.

Номер 2

Какие утверждения справедливы относительно скалярного произведения и ортогональной трансформации:

Ответ:

(1) Ортогональная трансформация сохраняет скалярное произведение: T(u) • T(v) = u • v.

(2) Ортогональная трансформация не сохраняет скалярное произведение.

(3) Скалярное произведение двух различных столбцов матрицы, задающей ортогональную трансформацию, равно нулю.

(4) Скалярное произведение двух различных столбцов матрицы, задающей ортогональную трансформацию, равно единице.

Номер 3

Какие утверждения справедливы для понятия «линейная ортогональная трансформация»:

Ответ:

(1) Линейная трансформация T называется ортогональной, если для любых двух векторов u и v вектора T(u) и T(v) являются единичными и ортогональными.

(2) Линейная трансформация T называется ортогональной, если образы ортонормального базиса: T(e₁), T(e₂), …,T(e_N) имеют единичную длину и взаимно ортогональны.

(3) Матрица линейной ортогональной трансформации называется ортогональной матрицей.

(4) Скалярное произведение любых двух столбцов ортогональной матрицы равно единице.

(5) Скалярное произведение любых двух столбцов ортогональной матрицы равно нулю.

(6) Скалярное произведение двух различных столбцов ортогональной матрицы равно нулю.

(7) Скалярное произведение любого столбца ортогональной матрицы с самим собой равно единице.

Упражнение 9:

Номер 1

Какие трансформации эквивалентны ортогональной трансформации:

Ответ:

(1) Трансформация, сохраняющая скалярное произведение.

(2) Трансформация, сохраняющая длины векторов.

(3) Трансформация, сохраняющая длины векторов и углы.

(4) Трансформация, сохраняющая углы между векторами.

Номер 2

Укажите корректные высказывания:

Ответ:

(1) В любом векторном пространстве ^Nсуществует тождественная трансформация.

(2) Трансформация T называется тождественной и обозначается буквой I, если I(v) = v для любого вектора v.

(3) Матрицей тождественной трансформации является нулевая матрица.

(4) Матрицей тождественной трансформации является единичная матрица.

(5) Композиция трансформации T и тождественной трансформации совпадает с T: Tº I = I º T = T

Номер 3

Какие утверждения справедливы для понятия «обратная линейная ортогональная трансформация» (инверсия):

Ответ:

(1) Обратной ортогональной трансформацией или инверсией ортогональной трансформации T называется трансформация T^-1 такая, что T^-1(T(u)) = u.

(2) Линейная трансформация T^-1 называется инверсией T, если T ° T^-1 = T^-1 ° T = I, где I – тождественная трансформация.

(3) Каждая ортогональная трансформация обратима.

(4) Обратная матрица ортогональной трансформации совпадает с транспонированной матрицей.

(5) Единичная матрица является обратной матрицей для ортогональной трансформации.

Упражнение 10:

Номер 10

Какие утверждения должны выполняться при передаче квантового состояния фотона в точке А фотону в точке В:

Ответ:

(1) Дополнительно к фотону в точке А необходимо создать запутанную пару и один элемент пары поместить в точку А, другой — в точку В.

(2) Над парой битов 3-кубита, объединяющего 3 фотона, необходимо выполнить ортогональную трансформацию, после чего выполнить измерение состояния этих битов.

(3) Результаты измерения передать по обычному каналу из точки А в точку В. В зависимости от результатов выполнить ортогональную трансформацию над третьим битом — он перейдет в состояние, свойственное исходному фотону.

(4) Для выполнения телепортации необходимо знать квантовое состояние исходного фотона.

Номер 10

Какое утверждение справедливо:

Ответ:

(1) Квантовая телепортация возможна.

(2) Квантовая телепортация невозможна.

(3) Возможность квантовой телепортации подтверждена на практике.

(4) Возможность квантовой телепортации не подтверждена на практике

Номер 10

Какие утверждения справедливы для квантовой телепортации:

Ответ:

(1) Квантовая телепортация позволяет переместить квантовый объект из одной точки пространства в другую.

(2) Квантовая телепортация позволяет мгновенно передать квантовое состояние фотона из одной точки пространства в другую.

(3) Квантовая телепортация позволяет передать квантовое состояние фотона из одной точки пространства в другую, не нарушая законов физики.

(4) При передаче квантового состояния фотона в точке А фотону в точке B состояние исходного фотона будет разрушено.

Квантовые вычисления - тест 7